Question

7．如图所示，一质量m=1kg的小物块（可视为质点）从A点以大小v₀=4m/s的初速度沿切线进入光滑圆弧轨道AB，经圆弧轨道后滑上与B点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道B端切线水平．已知长木板的质量M=1kg，A、B两点的竖直高度为h=1.0m，AO与BO之间夹角θ=37°，小物块与长木板之间的动摩擦因数μ₁=0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ₂=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）小物块运动至B点时的速度v₁大小；
（2）小物块滑动至B点时，对圆弧轨道B点的压力；
（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板？
（4）小物块从滑上长木块起到停止运动所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理计算B点速度；
（2）在B点，轨道支持力和重力的合力提供圆周运动的向心力，据此求解即可；
（3）根据物块在长木板上滑动时，物块的位移-长木板的位移应该小于等于长木板的长度这一临界条件展开讨论即可；
（4）根据匀变速直线运动规律求解时间．

解答 解：（1）小物块到达B点时速度为v₁从A至B点，由
动能定理得mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-$$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
设C点受到的支持力为F_N，则有
F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由几何关系得cosθ=$\frac{R-h}{R}$
由上式可得R=5m，v₁=6m/s，F_N=17.2 N
根据牛顿第三定律可知，小物块对圆弧轨道C点的压力大小为17.2 N     
（3）由题意可知小物块对长木板的摩擦力F_f1=μ₁mg=5 N
长木板与地面间的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力
F_f2=μ₂（M+m）g=4 N
对小物块：加速度a_物块=$\frac{{F}_{f1}}{m}$=5m/s²，速度v_物块=v₁-a_物块t₁，
对长木板：加速度a_木板=$\frac{{F}_{f1}-{F}_{f2}}{M}$=1m/s²，速度v_木板=a_木板t₁，
当v_物块=v_木板时，t₁=1s，v_物块=v_木板=1m/s．
在这1s内，小物块相对于长木板的位移为：s=$\frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{物块}}^{2}}{2{a}_{物块}}$-$\frac{{{v}_{木板}}^{2}}{2{a}_{木板}}$=3m，
所以长木板至少为3m，才能保证小物块不滑出长木板．
（4）小物块滑上长木板1s后与长木板一起运动，此时共同速度为v_共=v_物块=v_木板=1m/s．
此后它们做匀减速运动，加速度a_共=$\frac{{F}_{f2}}{m+M}$=2m/s²，
由v_共-a_共t′=0可求得小物块与长木板共同运动后经t′=0.5s停止，
所以小物块从滑上长木块起到停止运动所经历的时间为t=t₁+t′=1.5s．
答：（1）小物块运动至B点时的速度v₁大小为6m/s
（2）小物块滑动至B点时，对圆弧轨道B点的压力为17.2N；
（3）木板至少为3m才能保证小物块不滑出长木板；
（4）小物块从滑上长木块起到停止运动所经历的时间为1.5s．

点评 本题是多过程运动的题目，要对每个物体分别分析其运动情况，利用运动学的基本公式，再根据速度和位移的关系及牛顿第二定律求解．本题运动过程较为复杂，难度较大．