Question

3．如图，平行长直光滑金属导轨水平放置且足够长，导轨间距为l，一阻值为R的电阻接在轨道一端，整个导轨处于垂直纸面的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，一根质量为m的金属杆置于导轨上，与导轨垂直并接触良好．现对杆施加一个水平恒力F，使金属杆从静止开始运动，当杆的速度达到最大值v_m，立刻撤去水平恒力F，忽略金属杆与导轨的电阻，不计摩擦．
（1）定性画出金属杆整个运动过程的v-t图象；
（2）求金属杆的最大速度v_m；
（3）撤去恒力F后，金属杆还能滑行的距离．

Answer 1

分析 （1）对杆受力分析，根据牛顿第二定律列式分析加速度的变化情况，从而得到v-t图象；
（2）由（1）中分析得到加速度的表达式，加速度等于零时速度最大；
（3）撤去F后受到的合力为安培力，做减速运动，根据动量定理列式求解．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律有：F-F_安=ma
F_安=BIl
$I=\frac{E}{R}$
E=Blv
联立解得：a=$\frac{F}{m}-\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{mR}$，可知速度增大时，加速度减小，即做加速度逐渐减小的加速运动，当a=0时速度最大，
撤去水平恒力F后，根据牛顿第二定律有：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R}=ma$
受到的安培力与速度方向相反，可知做减速运动，加速度减小，画出v-t图如图所示，

（2）在（1）中，当加速度a=0时，有：$\frac{F}{m}-\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{m}}{mR}=0$
解得：${v_m}=\frac{FR}{{{B^2}{l^2}}}$
（3）由动量定理可知：BIl△t=mv₂-mv₁
对安培力的冲量求和可知：$\sum BIl△t=0-m{v_m}$
$q=\sum I△t$
设金属棒还能滑行的距离为x，
根据法拉第电磁感应定律：$E=\frac{△φ}{△t}=\frac{BLx}{△t}$
由$I=\frac{E}{R}$，$I=\frac{△q}{△t}$
由联立可得：$q=\frac{△φ}{R}=\frac{BLx}{R}$
联立解得：$x=\frac{{mF{R^2}}}{{{B^4}{l^4}}}$
答：（1）如图所示，
（2）金属杆的最大速度为$\frac{FR}{{B}^{2}{l}^{2}}$；
（3）撤去水平恒力F后，金属杆还能滑行距离为$\frac{mF{R}^{2}}{{B}^{4}{l}^{4}}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、法拉第感应定律的综合应用，主要根据牛顿第二定律得到加速度的表达式，进而得到金属棒运动情况，注意安培力为变力时求解位移的方法．