Question

20．如图甲所示，竖直虚线MN、PQ间有垂直于纸面向里的匀强磁场，MN左侧有水平的平行金属板，板的右端紧靠虚线MN，在两板的电极E、F上加上如图乙所示的电压，在板的左端沿两板的中线不断地射入质量为m，电荷量为+q的带电粒子，粒子的速度均为v₀，侧移最大的粒子刚好从板的右侧边缘射入磁场，两板长为L，若$\frac{L}{v_0}$远大于T，磁场的磁感应强度为B，U₀=$\frac{mv_0^2}{3q}$不计粒子的重力，求：

（1）两板间的距离d为多少？
（2）要使所有粒子均不能从边界PQ射出磁场，PQ、MN间的距离至少多大？
（3）若将下板下移$（\sqrt{3}-1）d$，则所有粒子进入磁场后，要使所有粒子均不能从边界PQ射出磁场，PQ、MN间的距离又至少为多大？

Answer 1

分析 （1）由乙图得到等效平均电压，再根据粒子正好从班的右侧边缘进入磁场，利用类平抛运动规律即可求得板间距离；
（2）由类平抛运动得到进入磁场的粒子速度大小和方向，求得粒子在磁场中做圆周运动的半径，然后，根据粒子的运动轨迹，由几何关系求得最小距离；
（3）与（2）类似步骤，根据板间距改变，场强变小，加速度变小等类推下去即可．

解答 解：（1）粒子在水平方向上不受外力，所以粒子在电场中运动的时间为$\frac{L}{{v}_{0}}$；
因为$\frac{L}{{v}_{0}}$远大于电场电压变化的周期T，又由于电压是均匀变化的，所以，加在E、F两端的电压可看成是U的平均值$\overline{U}=\frac{1}{2}{U}_{0}$；
由运动学规律，分析粒子竖直方向的运动，a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{1}{2}$$\frac{{qU}_{0}}{md}$；
所以，$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}\frac{{qU}_{0}}{md}$×${（\frac{L}{{V}_{0}}）}^{2}$=$\frac{d}{2}$
由上式可得：d=$\frac{L}{{v}_{0}}\sqrt{\frac{{qU}_{0}}{2m}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}L$．
（2）粒子进入磁场时速度为v，其水平分量v_x=v₀，竖直分量${v}_{y}=a•\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{q{U}_{0}L}{2md{v}_{0}}=\frac{L}{6d}{v}_{0}=\frac{\sqrt{6}}{6}{v}_{0}$；所以，$v=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{\sqrt{42}}{6}{v}_{0}$；
所以，有洛伦兹力作向心力，即$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，可得粒子在磁场中做圆周运动的半径$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{\sqrt{42}m{v}_{0}}{6Bq}$；
粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，，
则有$sinθ=\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{\sqrt{7}}{7}$，
要使所有粒子均不能从边界PQ射出磁场，则PQ、MN间的距离$l≥R+Rsinθ=\frac{\sqrt{42}m{v}_{0}}{6Bq}（1+\frac{\sqrt{7}}{7}）$；
（3）将下板下移$（\sqrt{3}-1）d$，则两板间的距离为$\sqrt{3}d$，粒子在电场中的加速度$a′=\frac{\sqrt{3}q{U}_{0}}{6md}$，因为a′＜a，所以粒子竖直偏移位移小于$\frac{1}{2}d$，粒子打不到下极板上；
进入磁场时的速度为v′，其水平分量为v′_x=v₀，竖直分量$v{′}_{y}=a′•\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{2}}{6}{v}_{0}$，所以，$v′=\sqrt{v{{′}_{x}}^{2}+v{{′}_{y}}^{2}}=\frac{\sqrt{38}}{6}{v}_{0}$；
粒子在磁场中做圆周运动的半径$R′=\frac{mv′}{Bq}=\frac{\sqrt{38}m{v}_{0}}{6Bq}$；
同（2）相似，$sinθ′=\frac{v{′}_{y}}{v′}=\frac{\sqrt{19}}{19}$，
要使所有粒子均不能从边界PQ射出磁场，PQ、MN间的距离$l′≥R′+R′sinθ′=\frac{\sqrt{38}m{v}_{0}}{6Bq}（1+\frac{\sqrt{19}}{19}）$．
答：（1）两板间的距离d为$\frac{\sqrt{6}}{6}L$；
（2）要使所有粒子均不能从边界PQ射出磁场，PQ、MN间的距离至少为$\frac{\sqrt{42}m{v}_{0}}{6Bq}（1+\frac{\sqrt{7}}{7}）$；
（3）若将下板下移$（\sqrt{3}-1）d$，则所有粒子进入磁场后，要使所有粒子均不能从边界PQ射出磁场，PQ、MN间的距离至少为$\frac{\sqrt{38}m{v}_{0}}{6Bq}（1+\frac{\sqrt{19}}{19}）$．

点评 对于同一题目改变条件后的问题，我们要分析条件改变后会引起什么变化，从什么地方开始变化，求解的时候就从改变的时刻开始重新分析计算即可．