Question

19．柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物．在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动．现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：
如图1所示．柴油打桩机重锤的质量为m，锤在桩帽以上高度为h处，从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为M（包括桩帽）的钢筋混凝土桩子上．同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短．随后，桩在泥土中向下移动一距离l．已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩幅之间的距离也为h如图2所示．已知m=1.0×10³kg，M=2.0×10³kg，h=2.0m，l=0.20m，重力加速度g=10m/s²．设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒力，求：
（1）锤子下落到与桩子接触前瞬间的速度v
（2）作用力F的大小．

Answer 1

分析 根据机械能守恒定律求出锤子下落到与桩子接触前瞬间的速度大小．
根据机械能守恒求出锤子反弹的速度，结合动量定理求出碰后桩的速度，结合功能关系求出作用力F的大小．

解答 解：（1）锤自由下落，碰桩前速度v₁向下，机械能守恒，有
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mgh$，
解得${v}_{1}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×2}m/s=2\sqrt{10}$m/s．
（2）碰后，已知锤上升高度为（h-l），故刚碰后向上的速度为v₂
$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=mg（h-l）$，
解得${v}_{2}=\sqrt{2g（h-l）}$
设碰后桩的速度为V，方向向下，由动量守恒，
mv₁=MV-mv₂，
桩下降的过程中，根据功能关系，
$\frac{1}{2}M{V}^{2}+Mgl=Fl$
代入数据解得F=2.1×10⁵ N．
答：（1）锤子下落到与桩子接触前瞬间的速度v为$2\sqrt{10}m/s$
（2）作用力F的大小为2.1×10⁵ N．

点评 在重锤和桩碰撞过程中由于内力远大于外力故可以由动量守恒求碰后桩的速度，而此后桩受重力及阻力而做减速运动，注意在列动能定理时不能忽略重力．