Question

如图所示，一个

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圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m，直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？
（2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是多少？

Answer 1

（1）小球离开C点做平抛运动，落到M点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式可得：
R=

1

2

gt²，
运动时间t=

2R g

从C点射出的速度为
v₁=

R

t

=

gR 2

设小球以v₁经过C点受到管子对它的作用力为N，由向心力公式可得
mg-N=m

v 21

R

N=mg-m

v 21

R

=

mg

2

，
由牛顿第三定律知，小球对管子作用力大小为

mg

2

，方向竖直向下．
（2）小球下降的高度最高时，小球运动的水平位移为4R，打到N点．
设能够落到N点的水平速度为v₂，根据平抛运动求得：
v₂=

4R

t

=

8gR

设小球下降的最大高度为H，根据机械能守恒定律可知，
mg（H-R）=

1

2

mv₂²
H=

v 22

2g

+R=5R
答：（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小为

mg

2

，方向竖直向下． （2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是5R．