Question

18．小明站在高出水平地面h=0.2m的台阶上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有可看成质点的质量为m=0.6Kg的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行的水平距离S=0.8m后落地，如图所示．已知握绳的手离台面高度与绳长相等为L=0.6m，重力加速度g=10m/s²，忽略手的运动半径和空气阻力．
求：（1）绳断时球的速度大小；
（2）绳能承受的最大拉力；
（3）保持手的位置不动，只缩短绳长（绳承受的最大拉力不变）使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，新绳长应为多少？

Answer 1

分析 （1）绳断后，小球做平抛运动，根据平抛运动的高度求出时间，根据水平位移和时间求出绳断时球的速度大小．
（2）根据在最低点，合力提供向心力，运用牛顿第二定律求出最大拉力．
（3）根据最大拉力，通过牛顿第二定律求出绳断后的速度与绳长的关系，根据平抛运动求出平抛运动水平位移的表达式，通过数学方法二次函数求极值，求出l为多少时，x最大．

解答 解：（1）设绳断后球做平抛运动的时间为t₁，
竖直方向上：$h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，解得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2×0.2}{10}}=0.2s$
水平方向上：s=v₁t₁
解得：${v}_{1}=\frac{0.8}{0.2}=4m/s$．
（2）设绳能承受的最大拉力为F_m．，在最低点，根据向心力公式得：
${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$
解得F_m=22N．
（3）设绳长为l，绳断时球的速度为v₂．
有：${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l}$，
绳断后球做平抛运动，竖直位移为L+h-l，水平位移为x，时间为t₂．
有：$L+h-l=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，x=v₂t₂．
得$x=\sqrt{\frac{8l（1.6-2l）}{3}}$
当l=0.4m时，x有极大值${x}_{max}=\sqrt{0.85}m$=0.92m．
答：（1）绳断时球的速度大小为4m/s．
（2）绳能承受的最大拉力为22N．
（3）要使球抛出的水平距离最大，绳长应为0.4m，最大水平距离0.92m．

点评 本题综合了平抛运动和圆周运动两个运动，关键知道平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源．