Question

4．如图，在x≤10cm的区域内存在垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小B=0.60T，一位于坐标原点的放射源在xy平面内向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带正点的a粒子．一部分a粒子从磁场边界离开，已知能够从边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于$\frac{T}{6}$（T为a粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期）．忽略空气阻力以及a粒子间的相互影响，若a粒子的电荷量与质量之比$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg．求：
（1）a粒子的发射速度；
（2）在磁场边界上a粒子离开磁场的范围；
（3）离开磁场的a粒子占放射源发射总量的百分比．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中运动的轨迹半径是一定的，要使运动时间最短，轨迹对应的圆心角应最小，轨迹对应的弦应最短，可知粒子从坐标为（10cm，0）点射出磁场．由几何关系求出轨迹半径，即可求解速度．
（2）粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，画出临界状态轨迹，即可得到范围．
（3）根据上述范围确定发射时速度的夹角范围，求解离开磁场的a粒子占放射源发射总量的百分比．

解答 解：（1）要使粒子在磁场中运动时间最短，粒子应从坐标为（10cm，0）的b点射出磁场．其轨迹如图1所示．设粒子轨迹对应的圆心角为θ，则 t=$\frac{θ}{2π}$T

由题意有：t=$\frac{T}{6}$，则得：θ=$\frac{π}{3}$=60°
轨迹半径为：r=$\frac{\frac{1}{2}Ob}{sin30°}$=Ob=0.1m
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：v=$\frac{qBr}{m}$=5.0×10⁷×0.6×0.1=3×10⁶m/s
（2）画出粒子打边界上两端时的轨迹如图2所示．

由于r=Ob，由几何知识知，当粒子的轨迹磁场边界相切时打在边界的最上端b点，db=r=0.1m
当粒子的发射速度沿-y轴方向时粒子打在边界的最下端c点，cb=r=0.1m
故在磁场边界上a粒子离开磁场的范围长度为：dc=0.2m
（3）由上分析知，粒子发射速度方向沿x轴正方向到沿y轴负方向范围的粒子都能离开磁场，所以离开磁场的a粒子占放射源发射总量的百分比为：
η=$\frac{90°}{360°}$×100%=25%
答：（1）a粒子的发射速度为3×10⁶m/s；
（2）在磁场边界上a粒子离开磁场的范围长度为0.2m；
（3）离开磁场的a粒子占放射源发射总量的百分比为25%．

点评 本题中粒子在磁场中运动时，关键要通过画出轨迹，确定临界条件求解轨迹半径，可运用几何知识理解时间最短对应的条件．