Question

6．两物块A、B之间压缩轻弹簧静止放在高度为h的光滑固定平台上，物块之间系一细线且与弹簧不拴接，平台左侧有质量为M的小车，小车的上表面粗糙且与平台等高．平台右侧与一半径为R的固定光滑半圆轨道相切．现烧断细线，两物块被弹簧弹开，质量为m的物块A以速度v₀向左滑上小车，小车在物块A的摩擦力作用下向左运动，最后物块A落地时落地点距此时小车左端的水平距离为l，小车与地面之间的摩擦忽略不计．物块B冲上半圆轨道且一直沿轨道运动．已知重力加速度为g，求：
（1）物块A离开小车以后在空中的运动时间t；
（2）物块A离开小车瞬间的速度v₁；
（3）物块B的质量范围．

Answer 1

分析 （1）物块A离开小车后在空中做平抛运动，根据下落的高度求运动时间．
（2）物体A在小车上滑动的过程，遵守动量守恒定律，由此列式．结合物块A落地时落地点距小车左端的水平距离l，由位移公式列式．联立可求得物块A离开小车瞬间的速度v₁；
（3）细线绕断前后动量守恒，由动量守恒定律列式．物块B一直沿轨道运动，有两种情况：一是沿轨道升到半圆圆心高度以下某点再返回，另一种情况是从轨道最高点抛出．结合临界条件和动能定理求物块B的质量范围．

解答 解：（1）物块A在离开小车后做平抛运动，则
   h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
（2）物块A做平抛运动水平位移为 x₁=v₁t
这段时间内小车运动的位移为
  x=vt
  l=x₁-x
对物块A和小车组成的系统，取向左为正方向，由动量守恒定律得
mv₀=mv₁+Mv
解得：v₁=$\frac{Ml\sqrt{\frac{g}{2h}}+m{v}_{0}}{M+m}$
（3）细线绕断前后动量守恒，由动量守恒定律得
  mv₀=m_Bv_B
解得：m_B=$\frac{m{v}_{0}}{{v}_{B}}$
物块B一直沿轨道运动，有两种情况：一是沿轨道升到半圆圆心高度以下某点再返回，另一种情况是从轨道最高点抛出．
①若物块B沿轨道升到半圆圆心高度以下某点再返回，其极限情况是物块运动到半圆轨道圆心高度处速度为零，设物块被弹簧弹出时速度为v_B1，则由动能定理得：
-m_B1gR=0-$\frac{1}{2}{m}_{B1}{v}_{B1}^{2}$
解得：v_B1=$\sqrt{2gR}$
可得：m_B1=$\frac{m{v}_{0}}{2gR}$$\sqrt{2gR}$
得：m_B≥$\frac{m{v}_{0}}{2gR}$$\sqrt{2gR}$
②若物块B从轨道最高点抛出，极限情况是恰能运动到轨道最高点，设此种情况运动到轨道最高点时速度为v_B，物块被弹簧弹出时的速度为v_B2，则由牛顿第二定律得
   m_B2g=m_B2$\frac{{v}^{2}}{R}$
物块由轨道最低点到最高点的过程中，由动能定理得
-m_B2g•2R=$\frac{1}{2}{m}_{B2}{v}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{B2}{v}_{B2}^{2}$
解得 v_B2=$\sqrt{5gR}$
可得：m_B2=$\frac{m{v}_{0}}{5gR}$$\sqrt{5gR}$
得：m_B≤$\frac{m{v}_{0}}{5gR}$$\sqrt{5gR}$
所以物块B的质量范围为m_B≥$\frac{m{v}_{0}}{2gR}$$\sqrt{2gR}$或m_B≤$\frac{m{v}_{0}}{5gR}$$\sqrt{5gR}$．
答：
（1）物块A离开小车以后在空中的运动时间t是$\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）物块A离开小车瞬间的速度v₁是$\frac{Ml\sqrt{\frac{g}{2h}}+m{v}_{0}}{M+m}$．
（3）物块B的质量范围为m_B≥$\frac{m{v}_{0}}{2gR}$$\sqrt{2gR}$或m_B≤$\frac{m{v}_{0}}{5gR}$$\sqrt{5gR}$．

点评 本题考查了平抛运动、向心力公式、动量守恒定律、运动学基本公式的直接应用，解题的关键是分析清楚物体运动过程以及受力过程，知道物块B恰好能够通过半圆轨道的最高点时，由重力提供向心力，注意使用动量守恒定律时要规定正方向．