Question

18．某校科技节期间举办“云霄飞车”比赛，小敏同学制作的部分轨道如图（1）所示，倾角θ=37°的直轨道AB，半径R₁=1m的光滑圆弧轨道BC，半径R₂=0.4m的光滑螺旋圆轨道CDC′，如图（2）所示，光滑圆轨道CE，水平直轨道FG（与圆弧轨道同心圆O₁等高），其中轨道BC、C′E与圆轨道最低点平滑连接且C、C′点不重叠，∠BO₁C=∠CO₁E=37°．整个轨道在竖直平面内，比赛中，小敏同学让质量m=0.04kg的小球从轨道上A点静止下滑，经过BCDC′E后刚好飞跃到水平轨道F点，并沿水平轨道FG运动．直轨道AB与小球的动摩擦因数μ=0.3，小球可视为质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，求：
（1）小球运动到F点时的速度大小；
（2）小球运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小；
（3）A点离水平地面的高度．

Answer 1

分析 （1）小球从E运动到F的过程其逆过程是平抛运动，根据高度求得小球离开E点时竖直分速度，再由分速度关系求出小球运动到F点时的速度大小；
（2）从D到F的过程，运用机械能守恒定律求出小球通过D点的速度．小球运动至圆轨道最高点D时，由重力和轨道的作用力的合力提供向心力，由向心力公式求轨道对小球的作用力，从而得到小球对轨道的作用力大小；
（3）从A到F的过程，由动能定理列式，可求得A点离水平地面的高度．

解答 解：（1）小球从E运动到F的逆过程是平抛运动，设小球离开E点时竖直分速度为v_y，小球运动到F点时的速度大小为v_F．则有：
v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2g•{R}_{1}cos37°}$=$\sqrt{2×10×1×0.8}$=4m/s
由分速度关系得：tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{F}}$
解得：v_F=$\frac{16}{3}$m/s
（2）从D到F的过程，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+2mgR₂=mgR₁+$\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}$
在D点，对小球，由向心力公式得：mg+N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{2}}$
联立解得：N≈4.64N
由牛顿第三定律知，小球运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小为4.64N．
（3）设A点离水平地面的高度为H．从A到F的过程，由动能定理得：
 mg（H-R₁）-μmgcosθ•$\frac{H-{R}_{1}（1-cos37°）}{sin37°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}$-0
解得：H≈3.9m
答：（1）小球运动到F点时的速度大小是$\frac{16}{3}$m/s；
（2）小球运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小是4.64N；
（3）A点离水平地面的高度是3.9m．

点评 本题要求同学们能正确分析物体的运动情况，掌握平抛运动的研究方法：运动的分解法．在轨道光滑的情况下，往往运用机械能守恒定律求速度或高度．有摩擦力时往往根据动能定理求高度．