Question

13．有一辆质量为1t的小汽车驶上圆弧半径为90m的拱桥，（g=10m/s²，R_地=6400km）
（1）汽车到达桥顶是速度为9m/s，汽车对桥的压力有多大？
（2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好对桥没有压力？
（3）如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面腾空，速度要多大？
（4）如果发射一颗地球卫星，至少需要多大的速度？

Answer 1

分析 （1）汽车在桥顶，由竖直方向上的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出桥对汽车的支持力，从而得出汽车对桥的压力．
（2）（3）当汽车对桥的压力为零时，竖直方向上仅受重力，根据牛顿第二定律求出汽车的速度；
（4）根据重力提供向心力即可求出．

解答 解：（1）1t=1000kg
根据牛顿第二定律有：mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
则得，N=mg-m$\frac{{v}^{2}}{R}$=1000×10-1000×$\frac{{9}^{2}}{90}$N=9900N．
根据牛顿第三定律得，汽车对桥的压力大小为9900N．
（2）当汽车对桥的压力为零时，有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
则得，v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×90}$=30m/s
故汽车以20 m/s速度经过桥顶时便恰好对桥没有压力而腾空．
（3）如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面腾空时，汽车对桥的压力为零时，有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{地}}$
则：${v}_{1}=\sqrt{g{R}_{地}}=\sqrt{10×6400×1{0}^{3}}$=8×10³m/s
（4）卫星在地球的表面做圆周运动时需要的发射速度最小，此时：mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{地}}$
所以：v₂=v₁=8×10³m/s
答：（1）汽车到达桥顶时速度为9m/s，汽车对桥的压力是9900N；
（2）汽车以30m/s的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力而腾空；
（3）如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面腾空，速度要8×10³m/s；
（4）如果发射一颗地球卫星，至少需要的速度是8×10³m/s．

点评 解决本题的关键知道在桥顶竖直方向上的合力提供汽车运动所需的向心力，会根据牛顿第二定律列出表达式．