Question

如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴．AO、BO的长分别为2L和L．开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方．让该系统由静止开始自由转动，求：
（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v；
（2）B球能上升的最大高度h；
（3）开始转动后B球可能达到的最大速度v_m．

Answer 1

分析：（1）AB两个球组成的系统机械能守恒，根据系统的机械能守恒列式可以求得AB速度之间的关系，同时由于AB是同时转动的，它们的角速度的大小相同．联立即可求解v．
（2）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，再根据系统的机械能守恒求解最大高度h．
（3）设OA杆从开始转过θ角时，B球的速度达到最大．根据系统的机械能守恒和AB速度关系，得到B的速度与θ的关系式，运用数学知识求解B速度的最大值．

解答：解：（1）以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒．
A、B转动的角速度始终相同，由v=ωr，有v=2v_B
系统的机械能守恒，得：2mg?2L=3mg?L+

1

2

?2mv2+

1

2

?3m?

v

2 B

 解得 v=

8gL 11

（2）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置位于OA杆竖直位置向左偏了α角．如图所示（2）．则有
2mg?2Lcosα=3mgL（1+sinα）
此式可化简为 4cosα-3sinα=3
解得 sin（53°-α）=sin37°，α=16°
所以B球能上升的最大高度h=L+Lsin16°=L+Lsin（53°-37°）
解得h=1.28L
（3）B球速度达到最大v_m时，系统的动能最大．设OA杆从开始转过θ角时，B球的速度达到最大．
根据系统的机械能守恒定律得：2mg?2Lcosθ-3mg?L（1-sinθ）=

1

2

?2m

v

2 A

+

1

2

?3m

v

2 B

又v_A=2v_B，
则得

v

2 B

=

2

11

gL(4cosθ+3sinθ)-

6

11

gL
根据数学知识得：4cosθ+3sinθ的最大值为5，则得B球速度的最大值v_m=

4 11 gL

答：
（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v是

8gL 11

；
（2）B球能上升的最大高度h是1.28L；
（3）开始转动后B球可能达到的最大速度v_m是

4 11 gL

．

点评：本题中的AB的位置关系并不是在一条直线上，所以在球AB的势能的变化时要注意它们之间的关系，在解题的过程中还要用到数学的三角函数的知识，要求学生的数学基本功要好，本题由一定的难度．