题目内容
3.如图甲所示,水平传送带以 5.0m/s 恒定的速率运转,两皮带轮之间的距离 l=6m,皮带轮的半径大小可忽略不计.沿水平传送带的上表面建立 xOy 坐标系,坐标 原点 O 在传送带的最左端.半径为R的光滑圆轨道 ABC 的最低点 A 点与 C 点原来相连,位于竖直平面内(如图乙所示),现把它从最低点处切开,并使 C 端沿 y 轴负方向错开少 许,把它置于水平传送带的最右端,A 点位于 x 轴上且与传送带的最右端之间的距离可忽 略不计,轨道的 A、C 两端均位于最低点,C 端与一水平直轨道平滑连接. 由于 A、C 两点间沿y轴方向错开的距离很小,可把 ABC 仍看作位于竖直平面内的圆轨道.将一质量m=1kg 的小物块 P(可视为质点)沿x轴轻放在传送带上某处,小物块随传送带运动到 A 点进入光滑圆轨道,恰好能够通过圆轨道的最高点B,并沿竖直圆轨道 ABC 做完整的圆周运动后由 C 点经水平直轨道滑出.已知小物块与传送带间的动摩擦因数 μ=0.5,圆轨道 的半径 R=0.5m,取重力加速度 g=10m/s2.求:(1)物块通过圆轨道最低点 A 时对轨道压力的大小;
(2)轻放小物块位置的 x 坐标应满足什么条件,才能完成上述运动;
(3)传送带由电动机带动,其与轮子间无相对滑动,不计轮轴处的摩擦.若将小物块轻放在传送带上O点,求将小物块从 O 点运送至 A 点过程中电动机多做的功.
分析 (1)物块恰好通过圆轨道最高点B时,由重力提供向心力,根据牛顿第二定律求出B点速度,物块由A点运动至B点的过程,根据机械能守恒定律求出A点速度,在A点根据牛顿第二定律列式即可求解;
(2)根据牛顿第二定律求出物块在传送带上的加速度,根据(1)可知物体到达A点时的速度与传送带速度相等,根据运动学基本公式求出物体在传送带上加速的位移,从而求出轻放小物块的位置坐标需满足的条件;
(3)根据运动学基本公式求出物块相对于传送带运动的位移,根据结合功能关系求解即可.
解答 解:(1)设物块恰好通过圆轨道最高点B时的速率为vB,根据牛顿第二定律有:
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入数据解得:vB=$\sqrt{5}$m/s
设物块通过圆轨道最低点A的速率为vA,对于物块由A点运动至B点的过程,根据机械能守恒定律有:
$\frac{1}{2}$mvA2=$\frac{1}{2}$m vB2+2mgR
代入数据解得:vA=5.0m/s
设物块通过圆轨道最低点A时,轨道对物块的支持力为FN,根据牛顿第二定律有:
FN-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$;
代入数据解得:FN=60N
据牛顿第三定律,物块通过圆轨道最低点A对轨道的压力为:F′N=FN=60N
(2)物块在传送带上的加速度为:a=μg=0.5×10=5.0m/s2
根据(1)可知物块运动至A点的速度满足vA=5.0m/s,
可使其恰好通过圆轨道最高点B.传送带的速率为:v0=5.0m/s,
物块在传送带上加速运动的位移为:x0=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2a}$=$\frac{25}{2×5}$=2.5m,
故轻放小物块的位置坐标需满足:x≤l-x0=3.5m
(3)设为将小物块从O点运送到A点传送带电动机做的功为W,小物块加速运动时间为:t=$\frac{{v}_{A}}{a}$=$\frac{5}{5}$=1.0s,
小物块加速运动的位移:x=$\frac{1}{2}$at2=$\frac{1}{2}×5×1$=2.5m
根据功能关系有:W=$\frac{1}{2}$mvA2+μmg(v0t-x)
代入数据解得:W=25J.
答:(1)物块通过圆轨道最低点 A 时对轨道压力的大小为60N;
(2)轻放小物块位置的 x 坐标应满足x≤l-x0=3.5m,才能完成上述运动;
(3)将小物块从 O 点运送至 A 点过程中电动机多做的功为25J.
点评 本题主要考查了牛顿第二定律、机械能守恒定律、运动学基本公式以及功能关系得直接应用,知道物块恰好通过圆轨道最高点B时,由重力提供向心力是解题的突破口,同时还要注意分析功能关系,明确多做功的计算方法.
A. | $\sqrt{2}$:1 | B. | $\sqrt{2}$:2 | C. | 2:1 | D. | 4:1 |
A. | 作用力大时,反作用力小 | |
B. | 作用力和反作用力的方向总是相反的 | |
C. | 作用力和反作用力是作用在同一个物体上的 | |
D. | 牛顿第三定律在物体处于非平衡状态时不再适用 |
A. | 飞船在轨道Ⅱ上运动时,在 P 点速度大于在 Q 点的速度 | |
B. | 飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于轨道Ⅱ上运动的机械能 | |
C. | 飞船在轨道Ⅰ上运动到 P 点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到 P 点时的加速度 | |
D. | 飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期相同 |
A. | P灯先亮,最后一样亮 | B. | Q灯先亮,最后一样亮 | ||
C. | P、Q两灯同时亮 | D. | 条件不足,无法判断 |
A. | 所有行星绕太阳运动的轨道都是圆 | |
B. | 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 | |
C. | 不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是相同的 | |
D. | 不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是相同的 |
A. | 悬挂在竖直绳子上的物体,绳子对它的拉力一定等于其重力 | |
B. | 静止在水平面上的物体对水平面的压力一定等于其重力 | |
C. | 自由落体运动的物体依然受到重力作用 | |
D. | 物体向上运动所受重力可能小于物体向下运动所受重力 |