题目内容

9．如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L．M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．导轨和金属杆的电阻可忽略．让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，经过足够长的时间后，金属杆达到最大速度vm，在这个过程中，电阻R上产生的热量为Q．导轨和金属杆接触良好，它们之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ．已知重力加速度为g．
（1）求磁感应强度的大小；
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到$\frac{1}{3}$vm时，求此时杆的加速度大小；
（3）求金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度．
（4）求金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中通过电阻的电荷量q．

分析 （1）金属杆先沿导轨向下做加速度减小的变加速运动，后做匀速运动，速度达到最大值，此时金属杆受力平衡，根据平衡条件和安培力公式，求出磁感应强度B的大小．
（2）当速度达到$\frac{1}{3}$vm时，先求出安培力大小，再由牛顿第二定律求加速度的大小．
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中，其重力势能减小，转化为杆的动能、摩擦生热和电路中的焦耳热，根据能量守恒定律求解杆下降的高度．
（4）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式得到电量q=$\frac{△Φ}{R}$，即可求得电量．

解答 解：（1）当ab匀速运动时，金属杆的受力图如图所示（侧视图）：图中mg为导体棒的重力，F安为感应电流的安培力，FN为斜面的支持力，Ff为滑动摩擦力．这时导体棒匀速直线运动，其所受的合力为零，则有：
mgsinθ=Ff+F安
FN=mgcosθ
由滑动摩擦力公式：Ff=μFN，
则得F安=mgsinθ-μmgcosθ
由安培力公式F安=BIL，由欧姆定律I=$\frac{E}{R}$，由法拉第电磁感应定律得E=BLvm，可得：F安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$
解得：B=$\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{L}^{2}{v}_{m}}}$
（2）当速度达到$\frac{1}{3}$vm时，导体棒受到的安培力为：F安′=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•\frac{1}{2}{v}_{m}}{R}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•\frac{1}{3}{v}_{m}}{R}$=$\frac{1}{3}$F安=$\frac{1}{3}$（mgsinθ-μmgcosθ）
由牛顿第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ-F安′=ma
解得：a=$\frac{2}{3}$g（sinθ-μcosθ）
（3）由能量守恒知，导体棒减少的重力势能，转化为动能、内能和电能，电能通过电阻R又转化为热量．
所以满足：mgh=$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$+Q+μmgscosθ，h=s•sinθ
解得金属棒下降的高度为：h=$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mg（1-μcotθ）}$
（4）通过电阻的电荷量为：q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{R}$=$\frac{BLs}{R}$=$\frac{BLh}{Rsinθ}$
代入解得：q=$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mgRsinθ（1-μcotθ）}$$\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{v}_{m}}}$
答：（1）磁感应强度的大小是$\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；
（2）杆的加速度大小是$\frac{2}{3}$g（sinθ-μcosθ）；
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度为$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mg（1-μcotθ）}$；
（4）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中通过电阻的电荷量q为$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mgRsinθ（1-μcotθ）}$$\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{v}_{m}}}$．

点评 本题的关键是会推导安培力的表达式和电量表达式，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒研究电磁感应现象解答．

练习册系列答案
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20．地球赤道上的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应变为原来的（　　）
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17．质量为m，长为L的矩形绝缘板放在光滑水平面上，另有一质量为m，带电量为q的小物块沿板的上表面以某一初速度从左端A水平向右滑上该板，整个装置处于竖直向下，足够大的匀强电场中，小物块沿板运动至右端B恰好停在板上．若强场大小不变而方向反向，当小物块仍由A端以相同的初速度滑上板面，则小物块运动到距A端的距离为板长$\frac{2}{3}$处时，就相对于板静止了．求：
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14．测量一螺线管两接线柱之间金属丝的长度．
器材：A、待测螺线管L（符号）：绕制螺线管金属丝的电阻率ρ=5.0×10-7Ω•m，电阻RL约为100Ω
B、螺旋测微器                           C、电流表G：量程100μA，内阻RG=500Ω
D、电压表V：量程6V，内阻RV=4kΩ           E、定值电阻R0：R0=50Ω
F、滑动变阻器R'：全电阻约1kΩ             G、电源E：电动势9V，内阻忽略不计
H、电键S一个，导线若干

①实验中用螺旋测微器测得金属丝的直径如图甲所示，其示数为d=0.385mm
②按图乙所示电路测量金属丝的电阻，请在图丙的实物图上连线．                     
③若测得的金属丝直径用d表示，电流表G的读数用I表示，电压表V的读数用U表示，则由已知量和测得量的符号表示金属丝的长度l=$\frac{{π{d^2}}}{4ρ}[{\frac{U}{{I{R_V}}}-（{R_0}+{R_G}）}]$．
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