Question

17．如图所示，四分之一光滑圆轨道固定于光滑地面上，紧靠轨道放一足够长的表面粗糙的长木板，木板上表面与轨道末端相切．轨道末端C点固定有大小不计的压力开关和长木板相连，当对开关的压力超过15N时触发压力开关，使长木板和圆轨道脱离．已知圆轨道半径R=0.8cm，滑块的质量m=1kg，长木板质量M=1kg，滑块与木板之间的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²．
（1）若滑块从轨道上距C点高h=0.1m处由静止释放，求滑块最终停止时距C点的距离
（2）若滑块从轨道上不同高度处由静止释放，求滑块与木板之间由于摩擦而产生的热量Q与下落高度h′的关系．

Answer 1

分析 （1）滑块圆弧轨道上下滑时，由机械能守恒定律得到滑块到达C点的速度．当滑块滑到底部C时恰好触发开关时对开关的压力等于15N，由牛顿第二定律列式，联立解得滑块释放时的高度；从而判断出滑块是否触发开关，再由功能关系求滑块最终停止时距C点的距离．
（2）滑块在木质上滑动时，滑块与木板组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律求解共同速度；系统机械能的减小量等于内能的增加量，由功能关系列式求解．

解答 解：（1）当滑块释放的高度为h₀时恰好触发压力开关．
由机械能守恒定律得 mgh₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在C点，由牛顿第二定律得 N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
将N=15N代入解得 h₀=0.2m
由于h＜h₀，所以滑块未触发压力开关，长木板不动，小滑块在木板上减速运动最终停止
由功能关系得 mgh-μmgS=0
解得 S=0.5m
（2）当h′≤h₀时，Q=mgh′=10h′
当h′＞h₀时，则
   mgh′=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
滑块在木板上滑动时，取向右为正方向，由动量守恒定律得
   mv=（M+m）v′
由能量守恒定律得  Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）v{′}^{2}$
联立解得 Q=5h′
答：
（1）若滑块从轨道上距C点高h=0.1m处由静止释放，滑块最终停止时距C点的距离是0.5m．
（2）若滑块从轨道上不同高度处由静止释放，滑块与木板之间由于摩擦而产生的热量Q与下落高度h′的关系为：当h′≤h₀时，Q=10h′．当h′＞h₀时，Q=5h′．

点评 本题的关键是明确滑块和木板的运动过程，分析隐含的临界状态，会运用动量守恒定律列式求解共同速度，要知道摩擦产生的内能与相对位移有关．