Question

11．将一金属或半导体薄片垂直置于磁场中，并沿垂直磁场方向通入电流，则在导体中垂直于电流和磁场方向会产生一个电势差，这一现象称为霍尔效应，此电势差称为霍尔电势差．
（1）某长方体薄片霍尔元件，其中导电的是自由电子，薄片处在与其上表面垂直的匀强磁场中，在薄片的两个侧面a、b间通以如图所示的电流时，另外两侧面c、d间产生霍尔电势差U_H，请判断图中c、d哪端的电势高
（2）可以将（1）中的材料制成厚度为h、宽度为L的微小探头，测量磁感应强度，将探头放入磁感应强度为B₀的匀强磁场中，a、b间通以大小为I的电流，测出霍尔电势差U_H，再将探头放入待测磁场中，保持I不变，测出霍尔电势差U_H′，利用上述条件，求：此霍尔元件单位体积内自由电子的个数n（已知电子电荷量为e）；待测磁场的磁感应强度B_x和B₀之间的关系式
（3）对于特定的半导体材料，其单位体积内的载流子数目n和载流子所带电荷量q均为定值．在具体应用中，有U_H=K_HIB，式中的K_H称为霍尔元件灵敏度，一般要求K_H越大越好，试通过计算说明为什么霍尔元件一般都做得很薄．

Answer 1

分析 （1）金属导体中移动的是自由电子，当电流的方向水平向右时，电子向左定向移动，受到洛伦兹力发生偏转，根据电子偏转到哪一表面判断电势的高低．
（2）当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等时，E和U_H达到稳定值，根据电场力与洛伦兹力平衡，结合电流I=nevS，从而确定磁感应强度B_x和B₀之间的关系式；
（3）由上分析，即可推导出U_H的大小与I和B以及霍尔元件厚度d之间的关系．

解答 解：（1）解：（1）电流的方向水平向右时，电子向左定向移动，根据左手定则，电子向f面偏转．f面得到电子带负电，c面失去电子带正电，所以C端的电势高．
（2）电子收到的洛伦兹力与电场力平衡evB₀=eE
电场强度$E=\frac{U_H}{L}$
电流的微观表达式   I=nevLh
可得  $n=\frac{{{B_0}I}}{{e{U_H}h}}$
n为材料本身特性，故$n=\frac{{{B_x}I}}{eU_H^'h}$
可得${B_x}=\frac{U_H^'}{U_H}{B_0}$
（3）由   $n=\frac{BI}{{e{U_H}h}}$
可得  ${U_H}=\frac{BI}{nqh}$
${K_H}=\frac{1}{nqh}$
由表达式可知，霍尔灵敏度KH与元件厚度h成反比，h越小，K_H值越大，
所以霍尔元件一般都做得很薄．
答：（1）图中c端的电势高；
（2）可待测磁场的磁感应强度B_x和B₀之间的关系式：${B_x}=\frac{U_H^'}{U_H}{B_0}$；
（3）由表达式可知，${K_H}=\frac{1}{nqh}$，霍尔灵敏度KH与元件厚度h成反比，h越小，K_H值越大，所以霍尔元件一般都做得很薄．

点评 解决本题的关键知道金属导体中移动的是自由电子，根据左手定则判断电子偏转方向，从而得出表面电势的高低．会根据荷所受的电场力与洛伦兹力相等，推导出U_H的大小与I和B以及霍尔元件厚度d之间的关系．