Question

11．“太空粒子探测器”是由加速度装置、偏转装置和收集装置三部分组成的，其原理可简化如下：如图所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心圆，圆心为O，外圆的半径R₁=2m，电势φ₁=50V，内圆的半径R₂=1m，电势φ₂=0，内圆内有磁感应强度大小B=5.0×10^-3T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，收集薄板MN与内圆的一条直径重合，收集薄板两端M、N与内圆间各存在狭缝，假设太空中漂浮着质量m=1.0×10^-10kg，电荷量q=4.0×10^-4C的带正电粒子，它们能均匀吸附到外圆面上，并被加速电场从静止开始加速，进入磁场后，发生偏转，最后打在收集薄板MN上并被吸收（收集薄板两侧均能吸收粒子），不考虑粒子相互间的碰撞和作用．
（1）求粒子刚到达内圆时的速度大小；
（2）以收集薄板MN所在的直线为x轴建立如图的平面直角坐标系，分析外圆哪些位置的粒子将在电场和磁场中做周期性运动，指出该位置并求出这些粒子运动一个周期内在磁场中所用时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中加速，根据动能定理可求得粒子到达内圆时的速度大小；
（2）粒子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力充当向心力即可求得半径，再与几何关系联立即可，画出一个周期性运动的图象，周期公式结合转过的圆心角即可求出一个周期性运动的时间．

解答 解：（1）带电粒子在电场中被加速时，由动能定理可得：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
U=φ₁-φ₂ ②
联立①②解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$=2×10⁴m/s  ③
（2）粒子进入磁场后，在洛伦兹力的作用下发生偏转，有qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ④
联立③④解得：r=$\frac{mv}{qB}$=1.0m
如图所示，因为r=R₂，所以由几何关系可知，从收集板左端贴着收集板上表面进入磁场的粒子在磁场中运动$\frac{1}{4}$圆周后，射出磁场，进入电场，
在电场中先减速后反向加速，并返回磁场，如此反复的周期运动．
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$⑤
则粒子在磁场中运动的时间：t=T ⑥
联立⑤⑥解得：t=$\frac{π}{2}$×10^-4s
粒子进入电场的四个位置坐标分别为（0，2m），（2m，0），（0，-2m），（-2m，0）
答：（1）粒子刚到达内圆时的速度大小为2×10⁴m/s；
（2）以收集薄板MN所在的直线为x轴建立如图的平面直角坐标系，外圆上坐标为（0，2m），（2m，0），（0，-2m），（-2m，0）点的粒子将在电场和磁场中做周期性运动，这些粒子运动一个周期内在磁场中所用时间为$\frac{π}{2}$×10^-4s．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动问题，在注意分析粒子的运动轨迹，确定圆心和半径，再根据几何关系进行分析，即可求解；对过程的分析以及数学应用能力要求较高．