Question

19．如图所示，水平面上有一个高为d的木块，木块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.1．由均匀金属材料制成的边长为2d、有一定电阻的正方形单匝线框，竖直固定在木块上表面，它们的总质量为m．在木块右侧有两处相邻的边长均为2d的正方形区域，正方形底边离水平面高度为2d．两区域各有一水平方向的匀强磁场穿过，其中一个方向垂直于纸面向里，另一个方向垂直于纸面向外，区域Ⅱ中的磁感应强度为区域Ⅰ中的3倍．木块在水平外力作用下匀速通过这两个磁场区域．已知当线框右边MN刚进入Ⅰ区时，外力大小恰好为F₀=$\frac{3}{20}$mg，此时M点电势高于N点，M、N两点电势差U_MN=U．试求：

（1）区域Ⅰ中磁感应强度的方向怎样？
（2）线框右边MN在Ⅰ区运动过程中通过线框任一横截面的电量q．
（3）MN刚到达Ⅱ区正中间时，拉力的大小F．
（4）MN在Ⅱ区运动过程中拉力做的功W．

Answer 1

分析 （1）已知当线框右边MN刚进入Ⅰ区时，M点电势高于N点，说明MN中感应电流方向由N到M，由右手定则判断磁感应强度的方向．
（2）根据法拉第定律、欧姆定律及U_MN=U=$\frac{3}{4}Bdv$列式求出B．由于线框匀速通过磁场，受力平衡，列式求出感应电流I，再q=It求解电量．
（3）MN刚到达Ⅱ区正中间时，线框左右两边切割磁感线，产生感应电动势，求出总的感应电动势，得到感应电流．由于线框上边各有一半处在磁场Ⅰ区、Ⅱ区中，所以分别受到向上与向下的安培力作用，根据竖直方向力平衡求出地面的支持力，由水平方向力平衡求出拉力F．
（4）随着MN在磁场Ⅱ区的运动，木块受到的支持力N_x随发生的位移x而变化，由平衡条件得到支持力与x的关系，求出支持力的平均值，即可求得摩擦力的平均值，再由功的公式计算拉力做的功W．

解答 解：（1）由题，当线框右边MN刚进入Ⅰ区时，M点电势高于N点，说明MN中感应电流方向由N到M，由右手定则判断知，磁感应强度的方向向外．
（2）设线框的总电阻为R，磁场Ⅰ区的磁感强度为B，线框右边MN在Ⅰ区运动过程中有一半长度切割磁感线产生感应电动势，有
    I=$\frac{E}{R}$=$\frac{Bdv}{R}$，U=I•$\frac{3}{4}$R=$\frac{3}{4}Bdv$
线框右边MN在Ⅰ区运动过程中，木块与线框受力平衡，有
  F₀-F_A-μmg=0
得 F_A=BId=$\frac{3}{20}$mg-0.1mg=$\frac{1}{20}$mg
通过线框任一横截面的电量q为
 q=It，其中 t=$\frac{2d}{v}$，得 I=$\frac{2Id}{v}$
联立以上各式，解得 q=$\frac{3mgd}{40U}$
（3）MN刚到达Ⅱ区正中间时，流过线框的电流为
  I′=$\frac{3Bdv+Bdv}{R}$=$\frac{4Bdv}{R}$=4I
线框左、右两条边均受到向左的安培力作用，总的安培力大小为
  F_A′=BI′d+3BI′d=16F_A=$\frac{4}{5}$mg
由于线框上边各有一半处在磁场Ⅰ区、Ⅱ区中，所以分别受到向上与向下的安培力作用，此时木块受到的支持力N为
  N=mg+3BI′d-BI′d=mg+8F_A=$\frac{7}{5}$mg
木块与线框组成的系统受力平衡，因此拉力F为
  F=F_A′+μN=$\frac{4}{5}$mg+$\frac{7}{50}$mg=$\frac{47}{50}$mg
（4）随着MN在磁场Ⅱ区的运动，木块受到的支持力N_x随发生的位移x而变化，有
  N_x=mg+3BI′x-BI′（2d-x）=mg-2BI′d+4BI′x
由于N_x随位移x线性变化，因此MN在Ⅱ区运动过程中木块受到的平均支持力为
  $\overline{N}$=mg-2BI′d+$\frac{4BI′•2d}{2}$=mg+2BI′d=$\frac{7}{5}$mg
此过程中拉力做的功W为
  W=F_A′•2d+$μ\overline{N}$•2d=$\frac{4}{5}$mg•2d+$\frac{7}{50}$mg•2d=$\frac{47}{25}$mgd
答：
（1）区域Ⅰ中磁感应强度的方向向外．
（2）线框右边MN在Ⅰ区运动过程中通过线框任一横截面的电量q为$\frac{3mgd}{40U}$．
（3）MN刚到达Ⅱ区正中间时，拉力的大小F为$\frac{47}{50}$mg．
（4）MN在Ⅱ区运动过程中拉力做的功W为$\frac{47}{25}$mgd．

点评 本题是电磁感应与电路、力学的综合，关键掌握楞次定律、法拉第电磁感应、欧姆定律等电磁感应的基本规律，要注意线框通过两磁场交界处时左右两边都切割磁感线，产生的感应电动势是串联关系．