Question

10．如图（甲）所示，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面，在纸面内固定一条以O点为圆心、半径为L的圆弧形金属导轨，长也为L的导体棒OA绕O点以角速度ω匀速转动，棒的A端与导轨接触良好，OA、导轨、电阻R构成闭合电路．

（1）试根据法拉第电磁感应定律E=n$\frac{△ϕ}{△t}$，证明导体棒产生的感应电动势E=$\frac{1}{2}$BωL²．
（2）某同学设计了一种带有闪烁灯的自行车后轮，如图（乙）所示．车轮与轮轴之间均匀地连接4根金属条，每根金属条中间都串接一个小灯，阻值为R=0.3Ω并保持不变，车轮半径r₁=0.4m，轮轴半径可以忽略．车架上固定一个强磁铁，可形成圆心角为θ=60°的扇形匀强磁场区域，磁感应强度B=2.0T，方向如图（乙）所示．若自行车前进时，后轮顺时针转动的角速度恒为ω=10rad/s，不计其它电阻和车轮厚度．求金属条ab进入磁场时，ab中感应电流的大小和方向．
（3）上问中，已知自行车牙盘半径r₂=12cm，飞轮半径r₃=6cm，如图（丙）所示．若该同学骑车时每分钟踩踏脚板60圈，车辆和人受到外界阻力的大小恒为10N，他骑车10分钟的时间内一共需要对自行车做多少功？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律证明；
（2）根据右手定则判定感应电流的方向，由法拉第电磁感应定律求感应电动势的大小从而得出感应电流的大小；
（3）根据能量守恒定律求解动力所做的功，关键是求出焦耳热；

解答 解：（1）设金属棒OA在△t时间内扫过的面积为△S，则：$△S=\frac{1}{2}•θ{L^2}=\frac{1}{2}ω{L^2}△t$
磁通改变量为：$△ϕ=B•△S=\frac{1}{2}Bω{L^2}•△t$
根据法拉第电磁感应定律得到为：$E=n\frac{△ϕ}{△t}=\frac{1}{2}Bω{L^2}$
（2）根据右手定则知：ab中的电流方向为b→a，ab相当于电源，电动势：
$E=\frac{1}{2}Bω{L^2}=\frac{1}{2}×2.0×10×{0.4^2}$=1.6V               
电路总电阻为：${R_总}=\frac{R}{3}+R=\frac{4R}{3}$=0.4Ω                                     
通过ab中的电流：$I=\frac{E}{R_总}=\frac{1.6}{0.4}$=4A                               
（3）后轮转速n=2r/s，后轮角速度为：ω=4π rad/s，
车速为：v=r₁ω=1.6πm/s                                              
电动势为：$E=\frac{1}{2}Bωr_1^2$=0.64π V，
总的电功率为：P_总=$\frac{E^2}{R_总}$=$\frac{128}{125}{π^2}$W             
总的焦耳热为：Q=P_总（$\frac{2}{3}$t）=409.6π²=4.04×10³J                             
克服阻力做功为：W_f=F_f•s=F_f•vt=3.016×10⁴J                            
一共需要做功为：W_总=W_f+Q=3.42×10⁴J；                                  
答：（1）证明如上所述；
（2）金属条ab进入磁场时，ab中感应电流的大小4A和方向b→a；
（3）骑车10分钟的时间内一共需要对自行车做3.42×10⁴J．

点评 本题考查了电磁感应和恒定电路的知识，设计问题从容易入手，层层递进，较好地把握了试题的难度和区分度．