Question

【题目】农用平板车的简化模型如图a所示，两车轮的半径均为r(忽略内外半径差)，质量均为m(车轮辐条的质量可忽略)，两轮可2m绕过其中心的光滑细车轴转动(轴m的质量可忽略)；车平板长为l、质把手量为2m，平板的质心恰好位于车轮的轴上；两车把手(可视为细直杆)的长均为2l、质量均为m，且把手前端与平板对齐，平板、把手和车轴固连成一个整体，车轮、平板和把手各自的质量分布都是均匀的.重力加速度大小为g.

(1)该平板车的车轮被一装置(图中未画出)卡住而不能前后移动，但仍可绕车轴转动.将把手提至水平位置由静止开始释放，求把手在与水平地面碰撞前的瞬间的转动角速度.

(2)在把手与水平地面碰撞前的瞬间立即撤去卡住两车轮的装置，同时将车轮和轴锁死，在碰后的瞬间立即解锁，假设碰撞时间较短(但不为零)，碰后把手末端在竖直方向不反弹.已知把手与地面、车轮与地面之间的滑动摩擦系数均为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力).求在车轮从开始运动直至静止的过程中，车轴移动的距离.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)车轮被一装置卡住而不能前后移动，但仍可绕轮轴转动.把手绕车轴的转动惯量为

平板绕车轴的转动惯量为

平板与把手整体绕车轴的转动惯量为

(1)

把手和平板整体的质心位置到车轴的距离(见解题图a)为

(2)

设把手与地面碰撞前的瞬间的角速度为，由机械能守恒有

(3)

式中h是把手和平板整体的质心下降的距离(见解题图b)

将(2)式代入上式得

由上式和(1)(3)式得

(4)

(2)在把手与地面碰撞前的瞬间，把手和平板车的质心的速度大小为

由几何关系有

，

碰前瞬间把手和平板质心速度的水平与竖直分量(从把手末端朝向把手前端为正)分别为

(5)

(6)

记碰撞时间间隔为△t，由题设，把手、平板与车轮组成的系统在碰撞过程中可视为一个物体.刚碰时，由于把手末端与地面之间有相对速度，把手末端与地面之间在碰撞过程中水平方向的相互作用力是滑动摩擦力.设碰撞过程中地面对系统在竖直方向上总的支持力为N′，在碰撞后的瞬间系统的水平速度为(≥0).在水平和竖直方向上分别对此系统应用动量定理有

(7)

(8)

值得注意的是，(8)式左端的冲量不可能等于零，因而(7)式左端的冲量也不可能等于零.由(7)(8)式得

即

当系统静止，故

(9)

当

系统开始运动，下面分两阶段讨论系统开始运动后直至停止的过程:

阶段I.车轮又滑又滚阶段

两车轮的受力如解题图c所示，图中是地面对两车轮的正压力，和是把手和平板通过轴对两车轮分别在水平方向和竖直方向的作用力，地面对车轮的滑动摩擦力.把手和平板作为一个整体的受力解题图d所示，图中N是地面对把手末端的正压力.

地面与车之间的总滑动摩擦力为

(10)

把手、平板和车轮组成的系统的质心加速度为

(11)

对把手和平板系统应用质心运动定理有

(12)

(13)

对把手和平板系统应用相对于过质心的水平轴的转动定理有

由(11)(12)(13)式得

将以上两式代入(14)式得

(14)

于是

因而

对两车轮在竖直方向上应用质心运动定理有

(15)

对两车轮应运用转动定理有

(16)

由(15)式得

再由(16)式得

设车轮经历时间间隔t后开始纯滚动，由纯滚动条件有

(17)

此即

由此得

车轮开始做纯滚动时的速度为

(18)

在整个又滑又滚阶段，车轴移动的距离为

于是有

阶段Ⅱ.车轮纯滚动阶段

两车轮的受力如解题图e所示，图中是地面对两车轮的正压力，和分别是把手和平板通过轴对两车轮在水平方向和竖直方向的作用力，是地面对车轮的作用力(静摩擦力)。把手和平板作为一一个整体的受力解题图f所示，图中是地面对把手末端的正压力.

对两车轮运用质心运动定理有

(20)

对两车轮运用转动定理有

(21)

由纯滚动条件有

(22)

由(20)(21)(22)式得

对把手和平板系统在水平方向上应用质心运动定理有

联立以上两式有

对把手和平板系统在竖直方向上应用质心运动定理有

对把手和平板系统应用相对于过质心C的水平轴的转动定理有

联立以上三式消去和，得

解得

于是

(23)

在整个纯滚动阶段，车轴移动的距离满足

于是

在车轮从开始运动直至静止的整个过程中，车轴移动的距离为