Question

【题目】如图a，旅行车上有一个半径为R的三脚圆凳(可视为刚性结构)，三个相同凳脚的端点连线(均水平)构成边长为a的等边三角形，凳子质心位于其轴上的G点.半径为r的一圆筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O点处，茶杯质量为m(远小于凳子质量)，其中杯底质量为(杯壁和杯底各自的质量分布都是均匀的)，杯高为H(与杯高相比，杯底厚度可忽略).杯中盛有茶水，茶水密度为.重力加速度大小为g.

(1)为了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定，杯中茶水的最佳高度是多少?

(2)现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内切于D点时静止(凳面边有小凸缘，可防止物体滑出；凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的)，且OD⊥AC(见图b)，求此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于滑移前(该茶水杯位于凳面中心处)的改变.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)以凳面中心O为坐标原点，以过O点向上的竖直线为y轴.茶杯(包括茶水在内)的质心位置为

(1)

式中h是杯中茶水的高度.令，(1)式即

事实上，考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程，茶水杯整体的质心先是逐渐降低，然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯整体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置，故有

(2)

由(1)(2)式得

(3)

舍弃负值(不合题意)，杯中茶水的最佳高度为

(4)

【另一种解法】：

事实上，考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程，茶水杯整体的质心先是逐渐降低，然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯整体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置.(1)式即

它满足代数不等式

式中当h满足

即

(4)

时取等号，即杯中茶水的最佳高度.】

(2)记凳子质量为M.该茶水杯的底面边缘刚好滑移到与圆凳的边缘内切于D点静止后，坐标系及三脚圆凳的受力分析分别如解题图a和解题图b所示，其中、和分别是车内底板对凳脚A、B和C的支持力.由几何关系有

(5)

(6)

三脚圆凳处于力平衡状态，竖直方向合力为零

(7)

(8)

式中，，P=Mg.由(7)(8)式得

以x轴为转动轴，力矩平衡

(9)

记，由(5)(6)(9)式有

【另一种解法】

以AC为转动轴，由力矩平衡条件有

(9)

即

联立以上各式得

(10)

(11)

值得指出的是，解(10)满足，即，

(12)

这已由题给条件保证了.

由(7)(10)(11)式得，此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于茶水杯滑移前的改变为

(13)

(14)