题目内容
【题目】闪电是地球上最壮丽的自然现象之一，人们对闪电进行了大量研究，近年来还观测到闪电导致的瞬间发光和伽玛射线暴等新现象.闪电通常由雷电云(离地6-12km)放电产生，多数闪电发生在云内，少数到达地面，由于云内冰状颗粒相互碰撞，小颗粒冰晶带正电，随气流上浮到云上端；较大颗粒带负电，下坠到云底端(见图a).云中闪电中和了云内的正负电荷，而云地闪电则把负电荷释放到地面.
(1)利用高空气球携带的电场测量仪测量高空中某圆柱形空域雷电云内的电场，其强度可视为均匀分布，大小为0.15MV/m.该圆柱区域的中轴线垂直于地面，半径为2.5km，高度为1.0km.求该区域上下两端的电势差、正电荷总量以及携带的总电能.已知真空介电常量
=8.85×10-12F/m.
(2)在起电过程中，雷电云上下两端电荷会随时间指数增加.当地表电场大于1.0kV/m时，就会发生云地闪电，因此地表电场很少超过10kV/m.假定1)中所述的雷电云从高空缓慢整体下移，直至其负电荷层离地高度为6.0km时暂时保持稳定，地面为良导体，试估算此雷电云正下方产生的地表电场强度.
(3)云地闪电通常由带电云底端带负电的冰晶颗粒尖端放电触发，先形成一条指向地面的放电细路径(直径为厘米量级)，该细路径随时间向下延伸，并导致周围空气不断电离，逐渐形成以原细路径(横截面大小可视为不变)为轴的粗圆柱形带电体，最后接近地面形成云地闪电通道.该闪电通道垂直于地面，所带负电荷总量为2.5C(原细放电路径内所带电量相对很小)，闪电通道(中心放电细路径除外)内部电场强度大小相等.假设闪电通道的长度远大于其直径，闪电通道的直径远大于中心放电细路径的直径，且在闪电通道连通云地前的极短时间内，闪电通道内部的电荷分布可视为稳定分布.已知大气的电场击穿阈值为3.0MV/m，试估算该云地闪电通道的直径，并导出闪电通道(中心放电细路径除外)内的电荷密度径向分布的表达式
(4)闪电通道连通云地后，云底和通道内部的负电荷迅速流向地面；闪电区域的温度骤然上升到数万摄氏度，导致其中的空气电离，形成等离子体，放出强光，同时通道会剧烈膨胀，产生雷声，闪电的放电电流经过约10μs时间即可达数万安培.在通道底部(接近地面)向四周辐射出频率约为30kHz的很强的无线电波.由于频率低于20MHz(此即所谓电离层截止频率)的电磁波不能进入电离层内部，该无线电波会加热电离层底部(离地约80km)的等离子体，闪电电流--旦超过某阈值将导致该电离层底部瞬间发光，形成一个以强无线电波波源(通道底部)正上方对应的电离层底部为中心的光环，最大直径可延伸到数百公里.试画出电离层底部光环产生与扩展的物理过程示意图，并计算光环半径为100km时光环扩张的径向速度.
(5)球形闪电(球闪)的微波空泡模型认为球闪是一个球形等离子体微波空腔(空泡).当闪电微波较弱时，不足以形成微波空泡，会向太空辐射，穿透电离层，可被卫星观测到.实际上，卫星确实观测到了这种微波辐射.但卫星观测信号易受电离层色散的干扰，携带探测器的高空气球可到达雷电云上方观测，以避免此类干扰.为了在离地12km的高空观测闪电发出的微波信号，需要在该区域悬浮一个载荷(包括气球材料和探测器)为50kg的高空氦气球，求此气球在高空该区域悬浮时的体积.已知在离地12km的高度以下，大气温度随高度每升高1km下降5.0K，地面温度T0=290K，地面压强
=1.01×105pa，空气摩尔质量M=29g/mol；气球内氦气密度(在离地高度12km处的值)
=0.18kg/m3.重力加速度g=9.8m/s2，气体普适常量R=8.31J/(K·mol).
【答案】（1）
（2）3.5kV/m 电场方向垂直于地面朝上 （3）
（4）3.8×108m/s （5）3.8×102m3
【解析】
(1)该圆柱形雷电云空域的电荷分布可近似认为是一个平行板电容器，其电容为
(1)
式中
，r=2.5km，d=1.0km.该区域上下两端的电势差为
U=Ed=150MV (2)
式中E=0.15MV/m。所带正电荷总量为
=26C (3)
携带的总电能为
J (4)
(2)将地面考虑为平面导体.应用镜像电荷法，可得高度为h的点电荷Q产生的地面电场为
(5)
雷电云正负电荷产生的总地表电场为
=-3.5kV/m (6)
已利用(3)式和题给数据h=6.0km，d=1.0km，r=2.5km.结果为负，说明电场方向垂直于地面朝上.
【另解】
(较为精确的计算):
考虑圆盘上一圆环形的电荷微元
其中r′为圆盘半径，
为圆盘面电荷密度.该电荷微元在圆盘中轴线(过圆盘中心且与圆盘垂直的轴线)上与盘相距x处产生的电势为
整个带电圆盘在圆盘中轴线上与盘相距x处产生的电势为
整个带电圆盘在圆盘中轴线上与盘相距x处产生的电场为
雷电云负电荷圆盘在x=h产生的电场为，
式中h为负电荷的高度.正电荷圆盘在x=h+d产生的电场为
将地面考虑为平面导体.应用镜像电荷法，得到正负电荷产生的地面电场为
(5)
已利用了(3)式。代入题给数据h=6.0km，d=1.0km，r=2.5km，得
=-2.8kV/m (6)
结果为负，说明电场方向垂直于地面朝上。
(3)闪电通道的线电荷密度为
(7)
式中Q=2.5C，h=6.0km.利用高斯定理得，圆柱电荷体系外的电场为
(8)
式中r′为到圆柱中轴线的距离.闪电通道的表面(柱面)电场应为击穿电场，故其直径为
=5.0m (9)
式中E击穿=3.0MV/m.
由题设，闪电通道的长度远大于其直径，闪电通道的直径远大于中心放电细路径的直径，闪电通道可视为无穷长的直圆柱体.在该直圆柱体上下两端面的电场通量(边缘效应)可忽略.在闪电通道内部，取与闪电通道同轴的圆柱形封闭面(包含中心放电细路径)，应用高斯定理得
(10)
此即
将上式两边对r求导得:
(11)
于是，闪电通道内(中心放电细路径除外)电荷密度分布为
(12)
(4)电离层底部光环产生与扩展的物理过程示意图如解题图a所示.
图中，无线电波从闪电O点在t=0时刻以球面波形式辐射出来，波前在t=tA时刻到达电离层底面A处时开始加热该电离层底部的A处，这对应光环的出现时刻。由于频率低于电离层截止频率(30kHz<<20MHz)，无线电波不能进入电离层，无线电波的波前会掠过电离层底面.当波前在t=tB时刻到达B点时，对应的光环的半径就为
.
假设在较短的时间Δt内，光环外径从B传播到C；对应的无线电波的波前从B点传播到了D点。由于无线电波的传播速度为c，故
(13)
其中c是光速.光环从B到C的移动速度为
(14)
代入题给数据
(15)
由(14)(15)式得
(16)
代入题给数据
=80km，
=100km，得
=1.28c=3.8×108m/s； (17)
【另一解】
电离层底部光环产生与扩展的物理过程示意图如解题图a所示.图中，无线电波从闪电O点在t=0时刻以球面波形式辐射出来，波前在t=tA时刻到达电离层底面A处时开始加热该电离层电离层底面AB底部的A处，这对应光环的出现时刻。由于频率低于电离层截止频率(30kHz<<<20MHz)，无线电波不能进入电离层，无线电波的波前会掠过电离层底面。当波前在t=tB时刻到达B点时，对应的光环的半径就为.
由于无线电波的传播速度为c，故
，
（13）
式中t是光环从A扩展至B所用时间.由几何关系
得
(14)
将(14)式两边对t微商得
(15)
由几何关系有
由上式和(15)式得
(16)
代入题给数据=80km，=100km，得
=1.28c=3.8×108m/s； (17)
(5)气球在高空悬浮的条件是
(18)
式中m负载为气球及载荷的总质量，ρ1为高空的大气密度，V0是此气球在此高度悬浮时的体积.由(18)式得
(19)
求出ρ1即可得气球体积.
按题意，空气温度随高度的变化关系为
(20)
其中
=5.0×10-3K/m.空气压强随高度的变化满足.
(21)
由理想气体状态方程
可得空气密度
(22)
式中m和V分别为空气质量和体积，M为空气摩尔质量，
为空气密度，R为普适气体常量.将(22)式代入(21)式得
(23)
由(23)式得
(24)
两边积分得
(25)
于是
(26)
相应的空气密度为
(27)
推导中用到了
(28)
由(27)式和题给数据得，离地高度z=12km处的空气密度为
=0.31kg/cm3 (29)
将(29)式代入(19)式得
=3.8×102m3
每课必练系列答案
巧学巧练系列答案
