Question

11．如图所示，半径为R=$\frac{16}{11}$m的光滑的圆弧形凹槽放置在光滑的水平面上，凹槽的圆弧面与水平面在B点相切，另一条半径OC与竖直方向夹角为θ=37°，C点时圆弧形凹槽的最高点，两个大小相同的小球P、Q质量分别为m₁=2kg和m₂=1kg，Q静止于B点，P放置于水平面上A点，给P施加一个F=60N的水平向右的瞬间作用力，P在B点与Q发生对心正碰，碰撞过程没有能量损失，碰后Q恰好能经过最高点C，g取10m/s²，sin37°=0.6，求：
（1）P碰前的速度大小v₁和碰后的速度大小v₂；
（2）力F的作用时间t．

Answer 1

分析 （1）先根据指向圆心的合力提供向心力，求得碰后Q经过最高点C时的速度．Q从B到C，由机械能守恒定律求碰后Q的速度．再研究碰撞过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律列式，即可求解P碰前的速度大小v₁和碰后的速度大小v₂．
（2）对F作用的过程，由动量定理求力F的作用时间t．

解答 解：（1）设Q经过B点的速度大小为v₃、经过C点的速度大小为v₄．
在C点，对Q，由牛顿第二定律得 m₂gcosθ=m₂$\frac{{v}_{4}^{2}}{R}$
Q从B到C，由机械能守恒定律得
    m₂gR（1+cosθ）+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{4}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{3}^{2}$
联立解得 v₃=8m/s
对P、Q碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得
   m₁v₁=m₁v₂+m₂v₃．
根据机械能守恒定律得  $\frac{1}{2}$m₁v₁²=$\frac{1}{2}$m₁v₂²+$\frac{1}{2}$m₂v₃²．
联立解得 v₁=12m/s，v₂=-4m/s．
（2）对F作用的过程，由动量定理得 Ft=m₁v₁-0
解得 t=0.2s
答：
（1）P碰前的速度大小v₁和碰后的速度大小v₂分别为12m/s和4m/s．
（2）力F的作用时间t是0.2s．

点评 解决本题的关键之处有二：1、要知道Q恰好通过C点的临界条件：重力沿半径方向的分力等于向心力．2、弹性碰撞遵守两大守恒定律：动量守恒定律和机械能守恒定律．要注意选取正方向．