Question

12．如图所示，光滑的金属导轨间距为L，导轨平面与水平面成α角，导轨下端接有阻值为R的电阻，质量为m，电阻为r的金属细杆ab与绝缘轻质弹簧相连静止在导轨上，弹簧劲度系数为k，上端固定，弹簧与导轨平面平行，整个装置处在垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现给杆一沿轨道向下的初速度v₀，杆向下运动至速度为零后，再沿轨道平面向上运动达最大速度v₁，然后减速为零，再沿轨道平面向下运动，一直往复运动到静止．试求：
（1）细杆获得初速度瞬间，通过R的电流大小；
（2）当杆速度为v₁时离最初静止时位置的距离 L₁．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv和闭合电路欧姆定律可求得通过R的电流
（2）细杆获得初速度前和当细杆的速度达到最大时，细杆均处于平衡状态，根据平衡条件列出方程组进行求解即可

解答 解：（1）设细杆获得初速度的瞬间，感应电动势为E₁、感应电流为I₁，取细杆为研究对象，则有：
E₁=BLv₀…①
I₁=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$…②
由①②得：I₁=$\frac{BL{v}_{0}}{R+r}$
（2）杆最初静止时弹簧伸长x₀、当杆速度为v1时弹簧的伸长量为x₁，此时杆产生的感应电动势为E₂、杆中的感应电流为I₂、此时杆所受安培力为F，则有：
kx₀=mgsinα…③
kx₁=mgsinα+F…④
F=BI₂L…⑤
I₂=$\frac{{E}_{2}}{R+r}$…⑥
E₂=BLv₁…⑦
L₁=x₁-x₀…⑧
由④⑤⑥⑦得：
kx₁=mgsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R+r}$…⑨
⑨-③结合⑧可得：
L₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{k（R+r）}$
答：（1）细杆获得初速度瞬间，通过R的电流大小为$\frac{BL{v}_{0}}{R+r}$
（2）当杆速度为v₁时离最初静止时位置的距离 L₁为$\frac{BL{v}_{0}}{R+r}$

点评 （1）本题考查了E=BLv、闭合电路欧姆定律、安培力大小的计算和物体的平衡
（2）做出正确的受力分析是关键