题目内容

18．如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于纸面向里．x轴下方有一匀强电场，电场强度为E、方向与y轴的夹角θ=45°斜向上方．现有一质量为m、带电量为q的正离子，以速度v0由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点（图中未画出）进入电场区域，离子经C点时的速度方向与电场方向相反．设磁场和电场区域均足够大，不计离子的重力，求：

（1）离子从A点出发到第一次穿越x轴时的运动时间；
（2）C点到坐标原点O的距离；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角．并大致画出离子前四次穿越x轴在磁场和电场区域中的运动轨迹．

分析 （1、2）带电粒子在匀强磁场中在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出轨迹半径．画出粒子运动的轨迹，由几何知识求出C点的坐标，根据运动轨迹的几何关系，来确定圆心角，并结合周期公式求解运动时间；
（3）根据粒子做类平抛运动处理规律，由运动的分解，并结合运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）磁场中带电粒子在洛仑兹力作用下做圆周运动，如图所示：
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{Bq}$，
粒子在磁场中转过的圆心角为$α=\frac{5}{4}π$，
设粒子从A到C的时间为t1，由几何知识知可知：t1=$\frac{\frac{5}{4}π}{2π}T=\frac{5πm}{4Bq}$，
（2）由牛顿第二定律得：qv0B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，
由几何知识知，C点到坐标原点O的距离xC=（r+rcos45°）=$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$，
（3）粒子第一次经过x轴后做匀减速直线运动，速度减为零后又做匀加速直线运动，以和离开时相同的速率第二次进入磁场，然后做匀速圆周运动，离子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程在电场中做类平抛运动，
设沿着v0的方向为x′轴，离子沿x′轴做匀速直线运动，运动轨迹如图所示：
设沿着电场的方向为y′轴，离子沿y′轴做初速为零的匀变速直线运动x1=v0t①
${y}_{1}=\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}{t}^{2}$②
${v}_{y}′=\frac{Eq}{m}t$③
由图中几何关系知$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}=tan45°$④
设离子第四次穿越x轴时速度的大小为v，速度方向与电场方向的夹角为β，$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{v}_{y}{′}^{2}}$⑤，
$tanβ=\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}′}$⑥
由①～⑥式得$v=\sqrt{5}{v}_{0}$，$β=arctan\frac{1}{2}$．
答：（1）离子从A点出发到第一次穿越x轴时的运动时间为$\frac{5πm}{4Bq}$；
（2）C点到坐标原点O的距离为$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小为$\sqrt{5}{v}_{0}$，速度方向与电场方向的夹角为$arctan\frac{1}{2}$．离子前四次穿越x轴在磁场和电场区域中的运动轨迹如图所示．

点评 考查粒子做匀速圆周运动与类平抛运动，掌握牛顿第二定律与运动学公式，理解圆周运动的半径公式与周期公式，掌握几何关系在题中的应用．

练习册系列答案
相关题目
8．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的最大速度为108km/h．汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．（g取10m/s2）
（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速公路上设计了圆弧拱桥作立交桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
9．一质量为1000kg的汽车，以额定功率由静止启动，它在水平面上运动时所受的阻力为车重的0.1倍，发动机额定功率为5kW．则汽车在此路面上行驶最大速度为（g取10m/s2）（　　）
A．5m/sB．7m/sC．8m/sD．10m/s
6．如图所示，在xoy面内，第一象限中有匀强电场，场强大小为E，方向 沿y轴正方向．在X轴的下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．今有一个质量为m 电荷量为q的带负电的粒子（不计粒子的重力和其他 阻力），从y轴上的P点以初速度V0垂直于电场方向 进人电场．经电场偏转后，沿着与X正方向成30°进入 磁场．试完成：
（1）求P点离坐标原点O的距离h；
（2）求粒子从P点出发到粒子第一次离开磁场时所用的时间？
13．如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xoy坐标系，在第Ⅱ象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ=45°．在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板C1、C2，两板间距为d1=0.6m，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板C1与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为l1=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x 轴放置一竖直平板C3，垂足为Q，Q、O相距d2=0.18m，板C3长l2=0.6m．现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度v0=2$\sqrt{2}$m/s垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过C1板上的M孔，进入磁场区域．已知小球可视为质点，小球的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离为s=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m，不考虑空气阻力．

求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C3上，求磁感应强度B的取值范围；
（3）以小球从M点进入磁场开始计时，磁场的磁感应强度随时间呈周期性变化，规定竖直向上为磁感强度的正方向，如图乙所示，则小球能否打在平板C3上？若能，求出所打位置到Q点距离；若不能，求出其轨迹与平板C3间的最短距离．（$\sqrt{3}$=1.73，计算结果保留两位小数）
3．用半圆形玻璃砖做“测定玻璃的折射率”的实验，实验步骤如下：
a、如图，在一张白纸上画一直线ab作为玻璃砖的一个界面，标出点O；
b、过O点画一线段OA，在OA上垂直地插两枚大头针P1、P2；
c、在ab线上侧放上玻璃砖，使O点正好处于圆心的位置；
d、在ab线下侧通过玻璃砖观察P1、P2的像；并插一枚大头针P3，使P3挡住P1、P2的像；标出P3的位置；
e、移去玻璃砖和大头针，连接OP3，作过O点与ab垂直的直线MN；
f、用量角器量出∠MOA和∠NOB两角的大小，根据光路可逆性，当光线从空气射向玻璃砖时，∠NOB为入射角，记为i，∠MOA为折射角，记为r；
根据以上步骤可求得玻璃折射率n=$\frac{sini}{sinγ}$若在进行步骤d时，无论怎么调整观察位置，都不能从ab线下侧观察到P1、P2的像，发生这种情况的原因是角γ过大，在ab界面发生了全反射．
10．如图1所示，游标卡尺的示数为5.015cm；如图2，螺旋测微器的示数为3.290mm．
7．我国的登月计划是未来将建立月球基地，并在绕月圆轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近时，将与空间站在B处对接，下列说法中正确的是（　　）
A．图中航天飞机正加速飞向B处
B．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站圆轨道必须点火减速
C．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时，航天飞机的加速度变小了
D．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时，航天飞机的加速度变大了
8．如图所示，在波的传播方向上间距均为1m的五个质点α、b、c、d、e均静止在各自的平衡位置．一列波以1m/s的速度水平向右传播，已知t=0时，波到达质点a，质点a开始由平衡位置向下运动，t=3s时，质点a第一次到达最高点，则下列说法正确的是（　　）
A．质点d开始振动后的振动频率为4Hz
B．t=4s时，波恰好传到质点e
C．t=5s时，质点b到达最高点
D．在4s＜t＜5s这段时间内，质点C的加速度方向向下

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网