Question

13．如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xoy坐标系，在第Ⅱ象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ=45°．在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板C₁、C₂，两板间距为d₁=0.6m，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板C₁与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为l₁=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x 轴放置一竖直平板C₃，垂足为Q，Q、O相距d₂=0.18m，板C₃长l₂=0.6m．现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度v₀=2$\sqrt{2}$m/s垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过C₁板上的M孔，进入磁场区域．已知小球可视为质点，小球的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离为s=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m，不考虑空气阻力．

求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C₃上，求磁感应强度B的取值范围；
（3）以小球从M点进入磁场开始计时，磁场的磁感应强度随时间呈周期性变化，规定竖直向上为磁感强度的正方向，如图乙所示，则小球能否打在平板C₃上？若能，求出所打位置到Q点距离；若不能，求出其轨迹与平板C₃间的最短距离．（$\sqrt{3}$=1.73，计算结果保留两位小数）

Answer 1

分析 （1）小球在第二象限内做类平抛运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出电场强度的大小．
（2）根据类平抛运动的规律求出经过M点的速度，作出粒子在磁场中的临界运动轨迹，结合几何关系和半径公式求出磁感应强度的范围．
（3）根据半径公式和周期公式求出粒子在磁场中运动的轨道半径和周期，由磁场的周期得出小球在磁场中运动的轨迹图，以及得出在一个磁场周期内小球在x轴方向的位移，判断能否打在平板C₃上，若能打在平板C₃上，通过几何关系求出其轨迹与平板C₃间的最短距离．

解答 解：（1）小球在第Ⅱ象限内做类平抛运动有：
v₀t=s
at=v₀tanθ
由牛顿第二定律有：qE=ma
代入据解得：E=$2\sqrt{2}N/C$．
（2）设小球通过M点时的速度为v，
由类平抛运动规律：$v=\frac{{v}_{0}}{sinθ}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}m/s$=4m/s，
小球垂直磁场方向进入两板间做匀速圆周运动，轨迹如图，由牛顿第二定律有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
得：B=$\frac{mv}{qR}$
小球刚好能打到Q点磁感应强度最强设为B₁．此时小球的轨迹半径为R₁，由几何关系有：
$\frac{{R}_{1}}{{l}_{1}+{d}_{2}-{R}_{1}}$=$\frac{{l}_{1}-{R}_{1}}{{R}_{1}}$
代入数据解得：${B}_{1}=\frac{1}{2}T$．
小球刚好不与C₂板相碰时磁感应强度最小设为B₂，此时粒子的轨迹半径为R₂，由几何关系有：
R₂=d₁，
代入数据解得：${B}_{2}=\frac{1}{3}T$．
综合得磁感应强度的取值范围：$\frac{1}{3}T≤B≤\frac{1}{2}T$
（3）小球进入磁场做匀速圆周运动，设半径为为R₃，周期为T有：
${R}_{3}=\frac{mv}{q{B}_{3}}$，
代入数据解得：R₃=0.09m．
$T=\frac{2π{R}_{3}}{v}$，
代入数据解得：T=$\frac{9π}{200}$．
由磁场周期${T}_{0}=\frac{2}{3}T$得小球在磁场中运动的轨迹如图
可得：一个磁场周期内小球在x轴方向的位移为3R₃
由分析知有：l₁=（3n+2）R₃，n=2
则小球能打在平板C₃上，设位置到Q点距离为h有：
h=2（n+1）R₃cosβ-R₃，
解得：h=$3\sqrt{3}{R}_{3}-{R}_{3}$=0.38m．
答：（1）匀强电场的场强大小为$2\sqrt{2}N/C$；
（2）磁感应强度B的取值范围为$\frac{1}{3}T≤B≤\frac{1}{2}T$；
（3）小球能打在平板C₃上，轨迹与平板C₃间的最短距离为0.38m．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律、画出运动轨迹，然后结合牛顿第二定律、类似平抛运动的分位移公式和几何关系列式求解，难度较大．