Question

6．.如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xOy坐标系，在第II象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ=45°．在第 III象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板c₁、c₂，两板间距为d₁=0.6m，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板c₁与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为L=0.72m．在第IV象限垂直于x轴放置一块平行y轴且沿y轴负向足够长的竖直平板c₃，平板c₃在x轴上垂足为Q，垂足Q与原点O相距d₂=0.18m．现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度v₀=4$\sqrt{2}$m/s垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过c₁板上的M孔，进入磁场区域．已知小球可视为质点，小球的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离为s=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m，不考虑空气阻力．

（1）求匀强电场的场强大小．
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板c₃上，求磁感应强度的取值范围．
（3）若t=0时刻小球从M点进入磁场，磁场的磁感应强度如图乙随时间呈周期性变化（取竖直向上为磁场正方向），求小球从M点到打在平板c₃上所用的时间．（计算结果保留两位小数）

Answer 1

分析 （1）小球在第二象限做类平抛运动，根据类平抛运动的规律可以求出匀强电场的场强
（2）画出临界轨迹，根据洛伦兹力提供向心力求出半径表达式，由几何关系求出半径，即可求出磁感应强度的范围；
（3）求出粒子在磁场中运动的半径和周期，画出轨迹，分别求出粒子在磁场中运动的时间和离开磁场的时间，即可求出小球从M点到打在平板c₃上所用的时间

解答 解：（1）小球在第二象限类平抛运动，s=v₀t
平行电场方向  at=v₀tanθ
根据牛顿第二定律qE=ma
代入数据解得$E=8\sqrt{2}V/m$
（2）小球通过M点的速度为：v=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{sinθ}$=8m/S
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$   
得   $B=\frac{mv}{qR}$
小球刚好能打到Q点时，磁感应强度最大，设为B₁，此时小球的轨迹半径为R₁，由几何关系有：$T=\frac{2πm}{Bq}$
解得，R₁=0.4m     B₁=1T         
小球恰好不与C₂板相碰时，磁感应强度最小，设为B₂，此时小球运动的半径为R₂，
易得  R₂=d₁，
解得：${B}_{2}^{\;}=\frac{2}{3}T$        
所以，磁感应强度的范围是：$\frac{2}{3}T$≤B≤1T    
（3）小球进入磁场匀速圆周运动，半径 r=$\frac{mv}{qB}$=0.18m 
      周期  T=$\frac{2πr}{v}=\frac{9π}{200}$
小球在磁场中的运动轨迹如下图

一个周期内小球在x轴方向的位移为3r=0.54m
而L-3r=0.18m=r，即，小球刚好垂直y轴方向离开磁场  
则在磁场中运动的时间：${t}_{1}^{\;}=2{T}_{0}^{\;}+\frac{T}{4}=\frac{33π}{800}s$
离开磁场到打在平板${c}_{3}^{\;}$上所用时间：${t}_{2}^{\;}=\frac{{d}_{2}^{\;}}{v}=\frac{9}{400}s$
小球从M点到打在平板${c}_{3}^{\;}$上所用总时间：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{33π+18}{800}s=0.15s$
答：（1）匀强电场的场强大小$8\sqrt{2}V/m$．
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板c₃上，磁感应强度的取值范围$\frac{2}{3}T≤B≤1T$．
（3）若t=0时刻小球从M点进入磁场，磁场的磁感应强度如图乙随时间呈周期性变化（取竖直向上为磁场正方向），小球从M点到打在平板c₃上所用的时间0.15s

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，解决本题的关键是画出粒子的运动轨迹，理清运动的情境，根据合适的规律列式，难度较大．