Question

17．如图所示，水平地面上方存在一磁场区域，EF为磁场的上水平边界，在磁场上方有一边长为L的正方形线框ABCD，其质量为m，电阻为R，将线框ABCD从AB边距磁场上边界2L处由静止释放，线框最终落在地面上，线框在整个运动过程中始终处于竖直平面内，且AB边保持水平，以线框AB边进入磁场时刻为计时起点，磁场的磁感应强度B随时间t变化情况如图所示，已知线框进入磁场过程中做匀速运动，磁场区域高度为7L．求：
（1）线框AB边刚进入磁场时磁场的磁感应强度
（2）从线框释放到AB边落地过程中，线框中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）从下落到全部进入根据动能定理建立方程，由导体棒切割磁感线可得出电动势及安培力表达式和由共点力的平衡条件联立可求；
（2）分析电体棒的运动过程，分别根据匀变速直线运动和匀速直线运动规律可求得时间，由能量守恒关系可求得产生的焦耳热．

解答 解：（1）设线框AB刚进入磁场时磁场的磁感应强度为B，线框的速度为v，由动能定理可得：2mgL=$\frac{1}{2}$mv²
回路中的电流为：I₁=$\frac{BLv}{R}$
线框进入磁场过程中做匀速运动，由平衡条件得：BI₁L=mg
联立解得：B=$\frac{1}{L}$$\root{4}{\frac{{m}^{2}{R}^{2}g}{4L}}$
（2）线框匀速进入磁场的过程中产生的焦耳热：Q₁=mgL
设线框进入磁场匀速转动的时间为t₀，则t₀=$\frac{L}{v}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{L}{g}}$
线框在磁场中无感应电流的时间为：t₁=$\frac{3}{2}$$\sqrt{\frac{L}{g}}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{L}{g}}$=$\sqrt{\frac{L}{g}}$
磁场变化时，线框中有感应电流，但线框受到的安培力为0，
设线框从完全进入磁场到AB边落地时间为t，有7L-L=vt-$\frac{1}{2}$gt²
解得：t=2$\sqrt{\frac{L}{g}}$
线框中有感应电流的时间：t₂=t-t₁=$\sqrt{\frac{L}{g}}$
回路中电流：I₂=$\frac{△φ}{△tR}$=$\frac{B{L}^{2}}{R\sqrt{\frac{L}{g}}}$
出磁场产生的焦耳热：Q₂=I₂²Rt₂²
从线框释放到AB边落地过程中，线框中产生的焦耳热：Q=Q₁+Q₂=$\frac{3}{2}$mgL．
答：（1）线框AB边刚进入磁场时磁场的磁感应强度为$\frac{1}{L}$$\root{4}{\frac{{m}^{2}{R}^{2}g}{4L}}$；
（2）从线框释放到AB边落地过程中，线框中产生的焦耳热为$\frac{3}{2}$mgL．

点评 本题考查的是电磁感应定律和和力学综合的应用问题，解答此题关键是分析线框运动性质，综合匀速和匀变速运动规律计算出落地时间，根据功能关系可以计算出产生的焦耳热．