Question

6．如图所示，竖直放置的导热气缸，活塞横截面积为S=0.01m²，可在气缸内无摩擦滑动，气缸侧壁有一个小孔与装有水银的U形玻璃管相通，气缸内封闭了一段高为H=70cm的气柱（U形管内的气体体积不计）．已知活塞质量m=6.8kg，大气压强p₀=10⁵Pa，水银密度ρ=13.6×10³kg/m³，g=10m/s²．
（1）求U形管中左管与右管的水银面的高度差h₁；
（2）在活塞上加一竖直向上的拉力使U形管中左管水银面高出右管水银面h₂=5cm，求活塞平衡时与气缸底部的高度．

Answer 1

分析 （1）对活塞受力分析，根据平衡条件求解封闭气体的压强，再根据压强关系求出左右管水银面的高度差；
（2）分析初末状态的体积和压强，根据等温变化列式求解．

解答 解：（1）以活塞为研究对象，${p}_{0}^{\;}S+mg=pS$
得$p={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}$
而$p={p}_{0}^{\;}+ρg{h}_{1}^{\;}$
所以有：$\frac{mg}{S}=ρg{h}_{1}^{\;}$
解得：${h}_{1}^{\;}=\frac{m}{ρS}$=$\frac{6.8}{13.6×1{0}_{\;}^{3}×0.01}$=0.05m=5cm
（2）活塞上加一竖直向上的拉力，U形管中左管水银面高出右管水银面${h}_{2}^{\;}=5cm$
封闭气体的压强$p={p}_{0}^{\;}-ρg{h}_{2}^{\;}$=1×$1{0}_{\;}^{5}-13.6×1{0}_{\;}^{3}×10×0.05$=93200${p}_{a}^{\;}$
初始时封闭气体的压强为：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}=106800{p}_{a}^{\;}$
汽缸内的气体发生的是等温变化，根据玻意耳定律，有：${p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}={p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}$
代入数据：106800×70S=93200×hS
解得：h=80cm
答：（1）U形管中左管与右管的水银面的高度差${h}_{1}^{\;}$为5cm；
（2）在活塞上加一竖直向上的拉力使U形管中左管水银面高出右管水银面h₂=5cm，活塞平衡时与气缸底部的高度为80cm

点评 本题力学知识与气体性质的综合，桥梁是压强．往往对跟气体接触的水银或活塞研究，根据平衡条件或牛顿第二定律研究气体的压强．