Question

10．如图所示，宽度为L的光滑平行金属导轨PQ和P′Q′倾斜放置，顶端QQ′之间连接一个阻值为R的电阻和开关S，底端PP′处通过一小段平滑圆弧与一段光滑水平轨道相连．已知水平轨道离地面的高度为h，两倾斜导轨间有一垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B；有两根长均为L、质量均为m、电阻均为R的金属棒AA′、CC′．当金属棒CC′放置在水平轨道右端时，两水平轨道间就会出现竖直方向的磁感应强度为B₁的匀强磁场，此时开关S处于断开状态；而如果金属棒CC′一离开水平轨道，水平轨道间的磁场就马上消失，同时开关S马上闭合．现把金属棒CC′放在光滑水平轨道上右端，金属棒AA′离水平轨道高为H的地方以较大的初速度v₀沿轨道下滑，在极短时间内金属棒CC′就向右离开水平轨道，离开水平轨道后在空中做平抛运动，落地点到抛出点通过的水平距离为x₁，金属棒AA′最后也落在水平地面上，落地点到抛出点的水平距离为x₂；不计导轨电阻，忽略金属棒经过PP′处的机械能损失，不计空气阻力，已知重力加速度为g，求：
（1）判断B₁的方向
（2）通过CC′的电量q
（3）整个运动过程中金属棒AA′产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）根据右手定则分析电流方向，再根据左手定则即可分析磁场方向；
（2）根据平抛运动规律可求得开始时的速度，再根据动量定理进行分析从而求出电量；
（3）根据能量关系进行分析，明确AA’减小的动能转变为内能和后来的动能以及CC'的动能，再根据串联电路规律进行分析即可求解AA'上消耗的电能．

解答 解：（1）由右手定则要知，AA′中电流为由A到A′，因此CC′电流为C′到C，同根据左手定则可知，要使导体棒向外飞出，则磁场应垂直平面向下；
（2）CC′就向右离开水平轨道，离开后在空中做平抛运动
水平方向x₁=v₁t
竖直方向h=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v₁=$\sqrt{\frac{g}{2h}}$x₁
同时对飞出过程由动量定理可知：
BILt=mv₁
而q=It
联立解得：
q=$\frac{m{x}_{1}}{{B}_{1}L}$$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（3）对于金属棒AA′平抛过程分析可得：
水平方向x₂=v₂t
竖直方向h=$\frac{1}{2}$gt²
在整过程中产生的内能为：
Q_总=mgH+$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{mg（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{4h}$
金属棒产生的焦耳热 Q=$\frac{R}{R+R}$Q_总=$\frac{1}{2}$Q_总
解得 Q=$\frac{1}{2}$mgH+$\frac{1}{4}$mv₀²-$\frac{mg（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{8h}$
答：（1）判断B₁的方向为垂直平面向下；
（2）通过CC′的电量q为$\frac{m{x}_{1}}{{B}_{1}L}$$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（3）整个运动过程中金属棒AA′上产生的焦耳热Q为$\frac{1}{2}$mgH+$\frac{1}{4}$mv₀²-$\frac{mg（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{8h}$．

点评 本题考查导体切割磁感线与能量相结合题型的分析，要注意明确根据功能关系求解内能，而根据平均电动势和动量定理分析求解电量，本题内容较多，对学生要求较高．