Question

8．图（甲）是磁悬浮实验车原理示意图，图（乙）是固定在车底部金属框abcd（车厢与金属框绝缘）与轨道上运动磁场的示意图．水平地面上有两根很长的平行直导轨PQ和MN，导轨间有竖直（垂直纸面）方向等间距的匀强磁场B_l和B₂，二者方向相反．车底部金属框的ad边宽度与磁场间隔相等，当匀强磁场B_l和B₂同时沿导轨方向向右运动时，金属框因受到磁场力作用而带动实验车沿导轨运动．设金属框垂直导轨的ab边长L=0.20m、总电阻R=l.6Ω，实验车与线框的总质量m=2.0kg，磁场B_l=B₂=1.0T，磁场匀速运动速度v₀=10m/s．已知悬浮状态下，实验车运动时受到恒定的阻力f=0.20N，求：

（1）设t=0时刻，实验车的速度为零，求金属框受到的磁场力的大小；
（2）求实验车的最大速率v_m；
（3）若某此实验使两磁场由静止开始向右做匀加速运动，当两磁场运动的时间为t=30s时，实验车的速度为v=4m/s且与磁场具有共同的加速度，求由两磁场开始运动到实验车开始运动所需要的时间t₀．

Answer 1

分析 （1）t=0时刻，实验车的速度为零，线框相对于磁场的速度大小为v₀，线框中左右两边都切割磁感线，产生感应电动势，由闭合电路的欧姆定律和法拉第电磁感应定律，求出此时金属框受到的磁场力的大小F₀，由左手定则判断出其方向；
（2）实验车的最大速率为v_m时相对磁场的速率为v₀-v_m，此时线框所受的磁场力与阻力平衡，由平衡条件求解最大速率v_m；
（3）为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，t₁时刻金属线圈中的电动势E=2BL（at₁-v₁），根据所受的安培力，结合牛顿第二定律求出列车最终的加速度．从磁场运动到列车起动需要时间为t₀．

解答 解：（1）t=0时刻，线框相对磁场的速度为v₀=10m/s，金属框A中产生逆时针方向的感应电流，设瞬时电动势大小为E₀
${E}_{0}=2\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{2BL{v}_{0}△t}{△t}$=2BLv₀=4.0V，
设线框中的电流大小为I₀，根据闭合电路欧姆定律I₀=$\frac{{E}_{0}}{R}$=2.5V，
设金属框A受到的磁场力的大小为F₀，根据安培力公式F₀=2 BI₀L=1.0N，方向向右；
（2）金属框A达到最大速度v_m时相对磁场的速度为（v₀-v_m），设此时线圈中的感应电动势为E₁，则   E₁=2 BL（v₀-v_m） …①
设此时金属框中的电流为I₁，根据欧姆定律${I}_{1}=\frac{{E}_{1}}{R}$  ②
实验车达到最大速度时受力平衡，f₁=2 BI₁L   ③
①②③整理得：f1=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{0}-{v}_{m}）}{R}$，
代入数据解得：v_m=8.0 m/s；
（3）根据题意分析可得，为实现实验车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同
设加速度为a，则t时刻金属线圈中的电动势：E=2BL（at-v）
金属框中感应电流I=$\frac{2BL（at-v）}{R}$
又因为安培力 F=2BIL=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（at-v）}{R}$，
所以对试验车，由牛顿第二定律得$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（at-v）}{R}$-f=ma
得 a=0.6m/s²  
设从磁场运动到实验车起动需要时间为t₀，则t₀时刻金属线圈中的电动势E₀=2BLat₀
金属框中感应电流I₀=$\frac{2BLa{t}_{0}}{R}$，
又因为安培力 F₀=2BI₀L=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$     
对实验车，由牛顿第二定律得F₀=f，
得：t₀=$\frac{10}{3}$s．
答：（1）金属框受到的磁场力的大小为1.0N，方向向右；
（2）实验车的最大速率为8m/s；
（3）由两磁场开始运动到实验车开始运动所需要的时间为$\frac{10}{3}$s．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下物体的平衡问题；另一条是能量，分析电磁感应现象中的能量如何转化是关键．