Question

5．如图所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ电阻不计，其间距离为L，两导轨及其构成的平面与水平面之间的夹角θ=30°．两根用绝缘细线连接的金属杆ab、cd分别垂直导轨放置，平行斜面向上的外力F作用在杆ab上，使两杆静止．已知两金属杆ab、cd的质量分别为m和2m，两金属杆的电阻分别为R和2R，ab杆光滑，cd杆与导轨间的动摩擦因数为μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{5}$，两杆和导轨始终保持良好接触，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．某时刻将细线烧断，保持杆ab静止不动，重力加速度为g．求：
（1）细线烧断瞬间外力F的大小F₁和cd内达到最大速度时的外力F的大小F₂；
（2）从细线烧断到cd杆达到最大速度时，cd杆在此过程中下滑的位移为x，求杆ab产生的电热Q_ab．

Answer 1

分析 （1）分别以ab杆和cd杆为研究对象，根据共点力的平衡条件列方程求解外力大小；
（2）根据共点力的平衡条件和闭合电路欧姆定律求解最大速度，再根据能量守恒定律求解求杆ab产生的电热Q_ab．

解答 解：（1）细线烧断瞬间，外力F有最小值F₁．
对ab杆受力分析可得：${F_1}=mgsinθ=\frac{1}{2}mg$
cd杆匀速运动时，外力F有最大值F₂．
对ab杆，根据共点力的平衡可得：F₂=mgsinθ+F_安
对cd杆，根据共点力的平衡可得：2mgsinθ=F_安+μ•2mgcosθ
联立解得：${F_2}=3mgsinθ-2μmgcosθ=\frac{9}{10}mg$；
（2）cd杆达最大速度v_m时，cd杆匀速运动．
对cd杆根据受力平衡：2mgsinθ=BIL+μ•2mgcosθ
根据闭合电路的欧姆定律可得：$I=\frac{E}{3R}=\frac{{BL{v_m}}}{3R}$
解得：${v_m}=\frac{6mgR}{{5{B^2}{L^2}}}$；
从细线烧断到cd杆达到最大速度过程中，整个回路产生的电热为Q_总，
由能量守恒得：$2mgsinθ•x=\frac{1}{2}•2m•v_m^2+μ•2mgcosθ•x+{Q_总}$
解得：${Q_总}=\frac{2}{5}（mgx-\frac{{18{m^3}{g^2}{R^2}}}{{5{B^4}{L^4}}}）$
而Q_总=Q_ab+Q_cd=3Q_ab，
解得：${Q_{ab}}=\frac{2}{15}（mgx-\frac{{18{m^3}{g^2}{R^2}}}{{5{B^4}{L^4}}}）$．
答：（1）细线烧断瞬间外力的大小为$\frac{1}{2}mg$，cd内达到最大速度时的外力的大小为$\frac{9}{10}mg$；
（2）从细线烧断到cd杆达到最大速度时，cd杆在此过程中下滑的位移为x，杆ab产生的电热为$\frac{2}{15}（mgx-\frac{18{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{5{B}^{4}{L}^{4}}）$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．