Question

13．如图所示，abcd为光滑轨道，半径R=0.4m的半圆形竖直轨道bcd与水平直轨道ab相切于b点，质量m₁=0.2kg的小球A静止在轨道上，另一质量m₂=0.4kg的小球B与A等大，球B以初速度v₀与球A发生对心碰撞，已知两球碰撞过程中没有机械能损失，忽略一切阻力，g=10m/s²，求：
（1）若小球以速度v水平向右冲过b点后，在竖直轨道bcd运动过程中不脱离轨道，则满足v满足什么条件；
（2）求两球碰后的速度大小；
（3）若碰后A、B两球在竖直轨道bcd运动过程中均不脱离轨道，则B球的初速度v₀满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）若不能经过最高点又不会脱离圆弧轨道，A、B最高只能运动到与圆心等高的地方，根据机械能守恒定律求出过b点的速度即可；
若经过最高点，根据牛顿第二定律求出A球在最高点的速度，根据机械能守恒分析求出b点的速度；
（2）由动量守恒定律结合机械能守恒即可求出AB碰撞后的速度；
（3）由于A与B在碰撞后过b点的速度不同，需要结合前两问的结论，依次进行分析．

解答 解：（1）欲使小球运动时不脱离圆弧轨道，有两种可能：
当v较小时，A、B最高只能运动到与圆心等高的地方
对小球，从碰后到与圆心等高的地方，由动能定理有：
$-mgR=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立得：v=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.4}=2\sqrt{2}$m/s
当v较大时，小球能够做完整的圆周运动．讨论恰好做完整圆周运动时的情形，对小球，从b点运动到圆周最高点的过程中，由动能定理：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
在最高点时，由牛顿第二定律得：
$mg=m•\frac{{v}_{min}^{2}}{R}$
联立得：v=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.4}=2\sqrt{5}$m/s
综上所述，当v≤$2\sqrt{2}$m/s或v$≥2\sqrt{5}$m/s时，小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道． 
（2）设碰撞后A的速度为v₁，B的速度为v₂，对A、B，碰撞过程中动量守恒，选取向右为正方向，由动量守恒定律得：
m₂v₀=m₁v₁+m₂v₂
根据动能守恒得：$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
代入数据联立得：v₁=$\frac{4}{3}{v}_{0}$，v₂=$\frac{1}{3}{v}_{0}$
（3）欲使小球运动时不脱离圆弧轨道，有三种可能，结合前两问的结论可得：
Ⅰ、当v₀较小时，A最高只能运动到与圆心等高的地方，所以：${v}_{1}≤2\sqrt{2}$m/s
联立得：${v}_{0}≤1.5\sqrt{2}$m/s
Ⅱ、当v₀较大时，A能够做完整的圆周运动，B最高到与圆心等高的地方，则：${v}_{1}≥2\sqrt{5}$m/s，
同时：${v}_{2}≤2\sqrt{2}$m/s
则此时：$1.5\sqrt{5}m/s≤{v}_{0}≤6\sqrt{2}m/s$
Ⅲ、当v₀很大时，A、B能够做完整的圆周运动，则：${v}_{2}≥2\sqrt{5}$m/s
则：v₀$≥6\sqrt{5}$m/s
答：（1）若小球以速度v水平向右冲过b点后，在竖直轨道bcd运动过程中不脱离轨道，则满足满足v≤$2\sqrt{2}$m/s或v$≥2\sqrt{5}$m/s；
（2）两球碰后的速度大小分别为$\frac{4}{3}{v}_{0}$和$\frac{1}{3}{v}_{0}$；
（3）若碰后A、B两球在竖直轨道bcd运动过程中均不脱离轨道，则B球的初速度v₀满足的条件有三种：${v}_{0}≤1.5\sqrt{2}$m/s或$1.5\sqrt{5}m/s≤{v}_{0}≤6\sqrt{2}m/s$或v₀$≥6\sqrt{5}$m/s．

点评 本题主要考查了动量守恒、机械能守恒定律、向心力公式的应用，要知道小球恰好通过最高点时，由重力提供向心力等．在解答第三问时要注意几种不同的情况，尽可能必要漏项．