Question

8．如图所示，一光滑金属直角形导轨aob竖直放置，ob边水平．导轨单位长度的电阻为ρ，电阻可忽略不计的金属杆cd搭在导轨上，接触点为M、N．t=0时，MO=NO=L，B为一匀强磁场，方向垂直纸面向外．（磁场范围足够大，杆与导轨始终接触良好，不计接触电阻）
（1）若使金属杆cd以速率v₁匀速运动，且速度始终垂直于杆向下，求金属杆所受到的安培力随时间变化的表达式；
（2）在（1）问的基础上，已知杆的质量为m，重力加速度g，求t时刻外力F的瞬时功率；
（3）若保证金属杆接触点M不动，N以速度v₂向右匀速运动，求电路中电流随时间的表达式．

Answer 1

分析 （1）经过t时间，金属杆沿速度方向的位移x=v₁t，根据几何关系求出导体棒的长度，再根据E=BLv结合欧姆定律和安培力公式求解；
（2）根据P_安=P_F+P_G，再根据安培力和重力的瞬时功率，从而求出F得瞬时功率．
（3）根据欧姆定律、电阻定律以及E=BLv求解；

解答 解：（1）经过t时间，产生的感应电动势 E=BL_有效v₁，
感应电流为 I=$\frac{E}{R}$
安培力 F_安=BIL_有效．
由几何关系可知 L_有效=$\sqrt{2}$（L+$\sqrt{2}$v₁t）=$\sqrt{2}$L+2v₁t
导轨接入闭合电路的长度为 2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L_有效=$\sqrt{2}$L_有效．
则 R=$\sqrt{2}$L_有效ρ．
由以上式子可得 F_安=$\frac{{B}^{2}{v}_{1}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}$
（2）若使金属杆cd以速率v₁匀速运动，则P_安=P_F+P_G，
又 P_安=F_安v₁．
且P_G=mgv₁cos45°
解得 P_F=$\frac{{B}^{2}{v}_{1}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}$-$\frac{\sqrt{2}mg{v}_{1}}{2}$
（3）N以速度v₂向右匀速运动，设∠OMN为θ．
则 I′=$\frac{E′}{R}$
E′=BL′$\overline{v}$
L′=$\frac{L}{cosθ}$
$\overline{v}$=$\frac{0+{v}_{⊥}}{2}$
v_⊥=v₂cosθ
R=ρ（2L+v₂t）
解得：I′=$\frac{BL{v}_{2}}{2ρ（2L+{v}_{2}t）}$
答：
（1）金属杆所受到的安培力随时间变化的表达式为F_安=$\frac{{B}^{2}{v}_{1}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}$；
（2）在（1）问的基础上，已知杆的质量为m，重力加速度g，t时刻外力F的瞬时功率是$\frac{{B}^{2}{v}_{1}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}$-$\frac{\sqrt{2}mg{v}_{1}}{2}$；
（3）电路中电流随时间的表达式为I′=$\frac{BL{v}_{2}}{2ρ（2L+{v}_{2}t）}$．

点评 要求同学们能正确分析电路结构，清楚导体棒有效长度的物理意义，运用电磁感应定律、欧姆定律、电阻定律、安培力公式结合进行研究．