Question

14．如图所示，AB是倾角为θ=30°的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切．圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的p点由静止释放，结果它能在两轨道上做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求：
（1）物体对圆弧轨道的最大压力大小；
（2）物体滑回到轨道AB上距B点的最大距离；
（3）释放点距B点的距离L′应满足什么条件，才能使物体能顺利通过圆弧轨道的最高点D．

Answer 1

分析 （1）物体第一次到达圆弧轨道的最低点时，对沿圆弧轨道的压力最大，根据动能定理求出E点的速度，再由向心力公式求出压力；
（2）第一次滑回轨道AB上距B点的距离最大，根据动能定理求出滑回轨道AB上距B点的最大距离；
（3）根据向心力公式求出物体刚好到达轨道最高点时的速度，由动能定理求出释放点距B点的距离；

解答 解：（1）根据几何关系：PB=$\frac{R}{tanθ}=\sqrt{3}$R
从P点到E点根据动能定理，有：
mgR-μmgcosθ•PB=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-0
代入数据：mgR-μmg•$\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{3}R=\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得：${v}_{E}^{\;}=\sqrt{（2-3μ）gR}$
在E点，根据向心力公式有：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
解得：F_N=3mg-3μmg
（2）物体滑回到轨道AB上距B点的最大距离x，
根据动能定理，有
mg（BP-x）•sinθ-μmgcosθ（BP+x）=0-0
代入数据：$mg（\sqrt{3}R-x）•\frac{1}{2}-μmg•\frac{\sqrt{3}}{2}（\sqrt{3}R+x）=0$
解得：x=$\frac{\sqrt{3}-3μ}{\sqrt{3}μ+1}$R
（3）刚好到达最高点时，有mg=m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
根据动能定理，有
mg（L′sinθ-R-Rcosθ）-μmgcosθ•L′=$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$-0
代入数据：$mg（\frac{1}{2}L′-R-\frac{\sqrt{3}}{2}R）-μmg•\frac{\sqrt{3}}{2}L′=\frac{1}{2}$mgR
解得：L′=$\frac{3R+\sqrt{3}R}{1-\sqrt{3}μ}$
所以L′≥$\frac{3R+\sqrt{3}R}{1-\sqrt{3}μ}$，物体才能顺利通过圆弧轨道的最高点D
答：（1）物体对圆弧轨道的最大压力大小为3mg-3μmg；
（2）物体滑回到轨道AB上距B点的最大距离$\frac{\sqrt{3}-3μ}{\sqrt{3}μ+1}$R；
（3）释放点距B点的距离L′应满足条件L′≥$\frac{3R+\sqrt{3}R}{1-\sqrt{3}μ}$，才能使物体能顺利通过圆弧轨道的最高点D

点评 本题综合应用了动能定理、圆周运动及圆周运动中能过最高点的条件，对动能定理、圆周运动部分的内容考查的较全，是圆周运动部分的一个好题．