Question

13．如图所示，质量m₁=0.1kg，电阻R₁=0.3Ω，长度l=0.4m的光滑导体棒ab横放在金属框架M′MNN′上，框架中MM′、NN′相互平行，电阻不计且足够长；MN垂直于MM′和NN′且电阻R₂=0.1Ω．框架放在绝缘水平面上，框架M′MNN′的总质量m₂=0.2kg，与水平面间的动摩擦因数μ=0.2．整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T．垂直于ab施加F=2N的水平恒力，ab从静止开始运动，且始终与MM′、NN′保持良好接触．当ab运动到某处时，框架开始运动．设框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s²．
（1）求框架开始运动时棒ab速度v的大小；
（2）从ab开始运动到框架开始运动的过程中，MN上产生的热量Q=0.1J，求：该过程中ab移动位移x的大小．

Answer 1

分析 （1）由框架受力平衡求得安培力，进而得到电流，然后由欧姆定律求得电动势，再与楞次定律求得的电动势联立，即可求解速度；
（2）由闭合电路的焦耳定律求得克服安培力做的功，然后再利用动能定理即可求得位移．

解答 解：（1）框架开始运动时，MN受到的安培力等于最大静摩擦力，即F_安=BIl=μm₂g，所以，$I=\frac{μ{m}_{2}g}{Bl}=\frac{0.2×0.2×10}{0.5×0.4}A=2A$；
所以棒ab产生的电动势E=I（R₁+R₂）=Blv，所以，$v=\frac{I（{R}_{1}+{R}_{2}）}{Bl}=\frac{2×（0.3+0.1）}{0.5×0.4}m/s=4m/s$；
（2）MN上产生的热量Q=0.1J，由闭合电路的焦耳定律可知：克服安培力做功即闭合电路总产热$W=\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{{R}_{2}}Q=0.4J$；
对从ab开始运动到框架开始运动的过程中应用动能定理可得：$W=Fx-\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$，所以，$x=\frac{W+\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}}{F}=\frac{0.4+\frac{1}{2}×0.1×{4}^{2}}{2}m=0.6m$：
答：（1）框架开始运动时棒ab速度v的大小为4m/s；
（2）从ab开始运动到框架开始运动的过程中，MN上产生的热量Q=0.1J，该过程中ab移动位移x的大小为0.6m．

点评 在闭合电路切割磁感线的问题中，一般由运动速度求得电动势，然后根据闭合电路的欧姆定律求得电流，进而得到安培力；就可由动能定理得到克服安培力做的功即闭合电路产生的焦耳热．