Question

4．美航天研究机构2013年4月18日宣布，环绕天琴座恒星“开普勒62”的行星“Kepler-62e”是已观测到的太阳系外迄今“最像地球”的行星之一，该行星体积不到地球的两倍，温度条件适宜，是否宜居值得期待．设该行星与地球均可视为质量分布均匀的球体，密度是地球的n²倍，人造卫星在地球表面附近的圆轨道上绕地球匀速运行一周所需时间为T，那么人造卫星若在“Kepler-62e”表面附近的圆轨道上绕“Kepler-62e”匀速运行一周所需时间T′为（　　）

• A． nT
• B． $\frac{T}{n}$
• C． T$\sqrt{n}$
• D． $\frac{T}{\sqrt{n}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，结合中心天体的质量等于密度与体积的乘积，求出近地卫星周期的表达式，从而分析判断．

解答 解：中心天体的质量$M=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，
根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{Gρ\frac{4π{R}^{3}}{3}}}$=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$，
因为行星密度是地球的n²倍，则周期是人造卫星绕地球周期的$\frac{1}{n}$倍，则T′=$\frac{T}{n}$．
故选：B．

点评 解决本题的关键知道贴近星球表面做圆周运动，轨道半径等于中心天体的半径，结合万有引力提供向心力推导出周期的表达式是关键．