题目内容
5.如图所示,水平放置的圆锥体轴截面顶角为2θ,均匀弹性绳圈原长为l,质量为m,劲度系数为k(绳圈伸长x时,绳中张力为kx).将绳圈从圆锥体的正上方套放到圆锥体上,并用手扶着绳圈保持水平圆环状,沿锥面向下推动,放手时,绳圈恰好处于力平衡状态A,此时绳圈伸长至L长度.若随后给绳圈一个沿锥面的极小扰动,绳圈会沿锥面向上稍作移动.设绳圈与圆锥面间的静摩擦因数为μ(静摩擦因数为μ=fmax/N,其中fmax为最大静摩擦力,N为正压力).求:(1)静摩擦因数μ的表达式;
(2)绳圈处于力平衡状态A时绳圈受到的摩擦力.
(注:要求答案中所涉及的物理量要与题中所对应的物理量的符号相一致)
分析 (1)分析绳上的一小段,因受小扰动会向上做极小运动,此时该小段所受到的静摩擦力为最大值且沿锥面向下.分析该小段的受力,运用正交分解法列出平衡方程,结合最大静摩擦力公式求解.
(2)利用对称性在绳圈直径处两小段,其水平方向相互抵消,垂直方向相加,则绳圈总的摩擦力竖直向下,由平衡条件求解.
解答 解:(1)分析绳上小段,张力的合力指向绳圈圆心,大小为Tα,把此段受力分解为锥面法向和锥线方向,小段质量为△m,因受小扰动会向上做极小运动,此时所受到的静摩擦力为最大值且沿锥面向下.
根据平衡条件得:
法线方向有:N-△mgsinθ-Tαcosθ=0
沿锥线方向有:△mgcosθ-Tαsinθ+μN=0
又△m=ρRα=m$\frac{α}{2π}$,Tα=k(L-l)α
解得:μ=$\frac{2πk(L-l)sinθ-mgcosθ}{mgsinθ+2πk(L-l)cosθ}$.
(2)利用对称性在绳圈直径处两小段,其水平方向相互抵消,垂直方向相加,则绳圈总的摩擦力竖直向下,大小为 f=μNcosθ
解得 f=2πk(L-l)sinθ cosθ-mgcos2θ
答:
(1)静摩擦因数μ的表达式为μ=$\frac{2πk(L-l)sinθ-mgcosθ}{mgsinθ+2πk(L-l)cosθ}$;
(2)绳圈处于力平衡状态A时绳圈受到的摩擦力为2πk(L-l)sinθ cosθ-mgcos2θ.
点评 解决本题的关键要把握物体刚要滑动的临界条件:静摩擦力达到最大值,采用微元法分析圆圈的受力情况,结合平衡条件研究.
练习册系列答案
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