Question

5．如图所示，水平放置的圆锥体轴截面顶角为2θ，均匀弹性绳圈原长为l，质量为m，劲度系数为k（绳圈伸长x时，绳中张力为kx）．将绳圈从圆锥体的正上方套放到圆锥体上，并用手扶着绳圈保持水平圆环状，沿锥面向下推动，放手时，绳圈恰好处于力平衡状态A，此时绳圈伸长至L长度．若随后给绳圈一个沿锥面的极小扰动，绳圈会沿锥面向上稍作移动．设绳圈与圆锥面间的静摩擦因数为μ（静摩擦因数为μ=f_max/N，其中f_max为最大静摩擦力，N为正压力）．求：
（1）静摩擦因数μ的表达式；
（2）绳圈处于力平衡状态A时绳圈受到的摩擦力．
（注：要求答案中所涉及的物理量要与题中所对应的物理量的符号相一致）

Answer 1

分析 （1）分析绳上的一小段，因受小扰动会向上做极小运动，此时该小段所受到的静摩擦力为最大值且沿锥面向下．分析该小段的受力，运用正交分解法列出平衡方程，结合最大静摩擦力公式求解．
（2）利用对称性在绳圈直径处两小段，其水平方向相互抵消，垂直方向相加，则绳圈总的摩擦力竖直向下，由平衡条件求解．

解答 解：（1）分析绳上小段，张力的合力指向绳圈圆心，大小为Tα，把此段受力分解为锥面法向和锥线方向，小段质量为△m，因受小扰动会向上做极小运动，此时所受到的静摩擦力为最大值且沿锥面向下．
根据平衡条件得：
法线方向有：N-△mgsinθ-Tαcosθ=0
沿锥线方向有：△mgcosθ-Tαsinθ+μN=0
又△m=ρRα=m$\frac{α}{2π}$，Tα=k（L-l）α
解得：μ=$\frac{2πk（L-l）sinθ-mgcosθ}{mgsinθ+2πk（L-l）cosθ}$．
（2）利用对称性在绳圈直径处两小段，其水平方向相互抵消，垂直方向相加，则绳圈总的摩擦力竖直向下，大小为  f=μNcosθ
解得 f=2πk（L-l）sinθ cosθ-mgcos²θ
答：
（1）静摩擦因数μ的表达式为μ=$\frac{2πk（L-l）sinθ-mgcosθ}{mgsinθ+2πk（L-l）cosθ}$；
（2）绳圈处于力平衡状态A时绳圈受到的摩擦力为2πk（L-l）sinθ cosθ-mgcos²θ．

点评 解决本题的关键要把握物体刚要滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值，采用微元法分析圆圈的受力情况，结合平衡条件研究．