Question

14．如图所示，两根粗糙直杆AC和PE与半径为R=0.5m的光滑半圆环CDE平滑连接，固定在同一竖直面内，两直杆与水平夹角均为θ=37°，质量分别为m₁=0.3kg、m₂=0.1kg的小环套在直杆上相距为L₁的A、B两处，m₁、m₂与两直杆的动摩擦因数分别为μ₁=0.5和μ₂=1.0．将m₁在A点无初速释放后，在B点与m₂发生碰撞（碰撞时间极短，BC间距L₂=2R=1.0m），碰后m₁、m₂具有相同速度但不粘连，之后m₂停留在Q点，QE相距恰为L₂=1.0m．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）AB间距L₁多大？
（2）m₁从A点释放后，在两直杆上通过的总路程多大？

Answer 1

分析 （1）先研究碰撞后整体从B到Q的过程，运用动能定理列式．AB碰撞过程，由动量守恒定律列式．球m₁从A到B的过程，运用动能定理列式，联立可求出AB间距L₁．
（2）整体到达Q点后，由于m₂的下滑力小于最大静摩擦力，将始终静止在Q点不动．m₁返回并在两倾斜轨道之间来回运动，由于有摩擦力，最终会在C点速度为零，研究m₁从Q到C点的整个过程，由动能定理求总路程．

解答 解：（1）m₁、m₂受到的摩擦力分别为f₁、f₂，则有：
f₁=μ₁m₁gcosθ=0.5×0.3×10×0.8N=1.2N
f₂=μ₂m₂gcosθ=1.0×0.1×10×0.8N=0.8N
则有：f=f₁+f₂=2N
m₁、m₂碰后瞬间速度为v，研究m₁、m₂碰整体，由动能定理有：
-f•2L₂-（m₁+m₂）gL₂cosθ=0-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
m₁、m₂碰撞时间极短，碰前瞬间m₁的速度为v₁，取沿杆向下为正方向，由动量守恒定律得：
m₁v₁=（m₁+m₂）v
代入数据解得：v₁=8m/s
m₁从A到B的过程，由动能定理得：
m₁gL₁sinθ-f₁L₁=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
代入数据解得：L₁=16m
（2）整体到达Q点后速度为0，此后，由于m₂的下滑力小于最大静摩擦力，将始终静止在Q点不动．m₁返回并在两倾斜轨道之间来回运动，由于有摩擦力，最终会在C点速度为零，研究m₁从Q点无初速度开始到C点速度为零的整个过程，设m₁从Q点起在两直杆上通过的总路程为x．由动能定理得：
m₁gL₂（sinθ+cosθ）-f₁x=0
代入数据解得：x=3.5m
所以m₁从A点释放后，在两直杆上通过的总路程为：
S=L₁+2L₂+x
解得：S=21.5m
答：（1）AB间距L₁是16m．
（2）m₁从A点释放后，在两直杆上通过的总路程是21.5m．

点评 本题要分析清楚两个物块的运动过程，知道涉及力在空间上效果时运用动能定理可求速度或总路程，要明确滑动摩擦力做功与总路程有关．