Question

12．已知神舟九号飞船在距地面高度为h的圆形轨道绕地球飞行．地球半径R，表面处的重力加速度为g．
（1）用以上数据求出第一宇宙速度．
（2）神舟九号飞船在上述圆轨道上运行的角速度和周期．

Answer 1

分析 （1）卫星绕地球附近做匀速圆周运动时的速度即为第一宇宙速度，由重力等于向心力求解．
（2）在地球表面，重力和万有引力相等．神舟九号飞船在轨道上运行时，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力．由此列式求解．

解答 解：（1）设第一宇宙速度为v．
根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 得v=$\sqrt{gR}$
（2）神舟九号飞船绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则得
  G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mω²（R+h）
又在地球表面，由万有引力等于重力，得 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
联立解得ω=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
周期为 T=$\frac{2π}{ω}$=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$
答：
（1）第一宇宙速度为$\sqrt{gR}$．
（2）神舟九号飞船在上述圆轨道上运行的角速度和周期分别为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$和2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．

点评 万有引力的应用关键是抓住两点：（1）在星球表面，物体的重力和万有引力相等；（2）环绕天体受的万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力．注意轨道半径和距地面距离的关系．