Question

14．如图所示，单色细光束射到一半径为R的透明球表面，光束在过球心的平面内，入射角i=60°，该光束经折射进入球内后又经其内表面反射一次，再经球表面折射后射出，已知真空中光速为c，出射光线相对于入射光线偏转了120°（图上已画出入射光线，sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，结果可带根号）
①求透明球的折射率；
②求光在透明球中传播的时间．

Answer 1

分析 ①出射光线可能顺时针偏转，也可能逆时针偏转，作出光路图，根据几何知识和对称性求出折射角r，由折射定律求出折射率n．
②由几何关系求出光在透明球中传播的距离L，由v=$\frac{c}{n}$求出光在透明球中传播的速度，再由t=$\frac{L}{v}$求光在透明球中传播的时间．

解答 解：①出射光线顺时针偏转时，如图1所示：
由几何关系及对称性，有：
  r=$\frac{α}{2}$+（i-r），其中 α=60°
解得 r=45°
由折射定律得
   n=$\frac{sini}{sinr}$=$\frac{sin60°}{sin45°}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
出射光线逆时针偏转时，如图2所示．
有：i=$\frac{α}{2}$+2γ
解得 r=15°
由折射定律得
   n=$\frac{sini}{sinr}$=$\frac{sin60°}{sin15°}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
②第一种情况：
由几何关系得：AC=BC=2Rcosr=$\sqrt{2}$R
光在透明球中传播的路程 L=2$\sqrt{2}$R
传播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$c
传播时间 t=$\frac{L}{v}$=$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$
同理可得，第二种情况，光在透明球中传播的路程 L=2$\sqrt{2+\sqrt{3}}$R
传播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{2c}{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}$c
传播时间 t=$\frac{L}{v}$=$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）\sqrt{2+\sqrt{3}}R}{c}$
答：
①出射光线顺时针偏转时，透明球的折射率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$；出射光线逆时针偏转时，透明球的折射率为$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
②第一种光在透明球中传播的时间为$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$．第二种光在透明球中传播的时间为$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）\sqrt{2+\sqrt{3}}R}{c}$．

点评 本题是几何光学问题，作出光路图是解题的基础，同时要善于运用几何关系分析光线的偏折角与折射角和入射角的关系，要注意不要漏解．