Question

2．如图甲所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距为d．长为l的柔软细线拴在A上，另一端系一质量为1kg的小球．小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以大小为v的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使细线慢慢地缠在A，B上，整个运动过程小球的速率始终不变．从小球刚运动时开始计时，在0≤t≤11s时间内细线拉力F大小的变化图线如图乙所示，11s末的细线拉力F大小会再次发生变化．（近似有：π=3）

求：（1）细线的长度l=？
（2）如果细线的抗断拉力为8N，那么从小球开始运动到细线拉断需要经历多长时间？

Answer 1

分析 （1）根据图象得出运动的周期，结合周期求出角速度，从而根据拉力提供向心力求出细线的长度．
（2）通过拉力提供向心力，结合半径的变化，列出拉力的通项表达式，结合表达式求出运动的圈数，从而根据每半圈的时间，结合数学知识求出整个过程运动的时间．

解答 解：（1）由图可知，开始以半径l做半个圆周运动的时间为6s，即$\frac{{T}_{1}}{2}=6s$，
可知角速度${ω}_{1}=\frac{2π}{{T}_{1}}=\frac{2×3}{12}rad/s=0.5rad/s$，
根据${F}_{1}=ml{{ω}_{1}}^{2}$，
解得l=$\frac{{F}_{1}}{m{{ω}_{1}}^{2}}=\frac{5}{1×0.25}m=20m$，
（2）由图象，结合牛顿第二定律得，${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{l}$=5N，${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{l-d}=6N$，
联立两式解得细线的长度l=6d，则d=$\frac{10}{3}m$，
细线的拉力T随r减小而增大，但线速度大小不变，v=lω₁=20×0.5m/s=10m/s．
在第一个半圆周内，${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{l}$，${t}_{1}=\frac{πl}{v}$，
在第二个半圆周内，${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{l-d}$，${t}_{2}=\frac{π（l-d）}{v}$，
在第三个半圆周内，${F}_{3}=m\frac{{v}^{2}}{l-2d}$，${t}_{3}=\frac{π（l-2d）}{v}$，
在第n个半圆周内 F_n=m$\frac{{v}^{2}}{l-（n-1）d}$，${t}_{n}=\frac{π[l-（n-1）d]}{v}$．
设小从开始运动到第n个半圆周时，细线拉力F_n=8N，即$8=m\frac{{v}^{2}}{l-（n-1）d}$，代入数据解得n=$3\frac{1}{4}$，取n=4．
则运动的时间t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{4πl-7d}{v}=\frac{4×3×20-\frac{70}{3}}{10}s≈21.7s$．
答：（1）细线的长度为20m．
（2）如果细线的抗断拉力为8N，那么从小球开始运动到细线拉断需要经历21.7s时间．

点评 本题是物理数列类型，结合圆周运动向心力的来源，通过数学知识求出拉力和时间的通项表达式是解决本题的关键．