Question

9．某球形行星“一昼夜”时间为T，在该行星上用弹簧秤测同一物体的重力，发现其“赤道”上的读数比在其“两极”处小16%，该行星的半径为R，万有引力常置为G．求：
（1）该行星的质量；
（2）若设想在该行星的表面发射一颗环绕表面的卫星，该卫星的周期多大？

Answer 1

分析 （1）由万有引力定律知星体表面的物体所受的万有引力为F=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$．在赤道上其中16%F充当物体随地球自转所需的向心力，即16%×G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，再联立求解行星的质量．
（2）在该行星的表面发射一颗环绕表面的卫星，其轨道半径近似等于星体半径R．由万有引力充当向心力列式，结合第一问结果即可解得卫星的周期．

解答 解：（1）由万有引力定律知，星体表面的物体所受的万有引力为 F=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$ ①
在赤道上其中16%F充当物体随地球自转所需的向心力，即16%×G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R ②
由①②联立解得：M=$\frac{25{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）在该行星的表面发射一颗环绕表面的卫星，其轨道半径近似等于星体半径R，由万有引力充当向心力知：
   G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{T{′}^{2}}$R ③
由①③式联立解得：T′=$\frac{2}{5}$T
答：
（1）该行星的质量是$\frac{25{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）若设想在该行星的表面发射一颗环绕表面的卫星，该卫星的周期是$\frac{2}{5}$T．

点评 解决此类问题的关键是找到物体和卫星做圆周运动所需要的向心力的来源，并结合万有引力定律解决问题．