Question

14．游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客不会掉下来．我们把这种情形抽象为如图所示的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使质量为m的小球从弧形轨道上端滚下，小球从圆轨道下端进入后沿圆轨道运动．如果已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g，不考虑阻力．求：

（1）若小球从高为h处由静止释放，小球到达圆轨道底端时对轨道的压力；
（2）若要使小球运动过程中不脱离轨道，讨论小球由静止释放时的高度满足的条件；
（3）若让小球从高为h=2R处的A点由静止释放，试求小球所能达到的最大高度．

Answer 1

分析 （1）小球从高h处静止开始运动到轨道最低点，由动能定理可得到速度大小，再由牛顿第二定律合外力提供向心力可求解轨道对小球弹力大小．
（2）小球运动过程中不脱离轨道有两种情况，一种是小球可以过最高点，另一种情况是小球最高到达与圆心等高处．
（3）小球从高2R处由静止释放，需要先由第二问判断，再由动能定理，牛顿第二定律，运动学规律求解．

解答 解析：（1）小球从高为h处由静止释放，到达最低点速度为v，此过程由动能定理：
                    $mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$   ①
             小球到达圆轨道底端时轨道对小球的弹力为N，由牛顿第二定律：
                  $N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$    ②
              联立①②式可解的 $N=mg（1+\frac{2h}{R}）$
            根据牛顿第三定律小球到达圆轨道底端时对轨道的压力   $N′=N=mg（1+\frac{2h}{R}）$ 方向：竖直向下
（2）第一种可能：小球可以到达最高点，由牛顿第二定律：
             $mg≤m\frac{{v}^{2}}{R}$     ③
         小球从高h处到圆轨道最高点，由动能定理：
           $mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$     ④
        联立③④式可解得   $h≥\frac{5}{2}R$
      第二种可能：小球恰到达与圆心等高处，由机械能守恒：
            mgh=mgR
        可得小球不脱离轨道最小高度：h=R
      所以高度应该满足：$h≥\frac{5}{2}R$  或  h≤R
（3）若让小球从高为h=2R处的A点由静止释放因：$h=2R＜\frac{5}{2}R$，设如图小球将在C点脱离轨道，此时N=0
         由牛顿第二定律：$mgsinθ=m\frac{{v}^{2}}{R}$    ⑤
         小球从A点到C点速度为v，根据动能定理：
             $mgR（1-sinθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                ⑥
       小球在C处斜抛，达到最高点时速度：
                      v′=vsinθ                            ⑦
        小球从A点到最高点H，根据动能定理：
             $mg（2R-H）=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$                    ⑧
       联立⑤⑥⑦⑧式可解得：$H=\frac{50}{27}R$
答：（1）若小球从高为h处由静止释放，小球到达圆轨道底端时对轨道的压力为  $N′=N=mg（1+\frac{2h}{R}）$ 方向：竖直向下
       （2）若要使小球运动过程中不脱离轨道，小球由静止释放时的高度满足的条件：$h≥\frac{5}{2}R$  或  h≤R
       （3）若让小球从高为h=2R处的A点由静止释放，试求小球所能达到的最大高度：$H=\frac{50}{27}R$

点评 此题综合程度较高，特别是第三问考察了动能定理，圆周运动，斜抛运动结合的问题，在此题分析中也可以应用机械能守恒．