题目内容
4.直线电机是一种利用电磁驱动原理工作的电动机械,我们可以利用以下简单的模型粗浅地理解其工作原理.如图所示,一半径为r、电阻为R的细铜环质量为m,置于水平桌面(图中未画出该桌面)的圆孔上(孔径等于环内径).另有一表面光滑的圆柱形磁棒(半径远大于绕制铜环的导线横截面的半径)竖直穿过圆孔和环,恰与孔、环不接触.磁棒产生的磁场方向沿半径方向向外,在环处的磁感应强度大小为B,磁棒下端足够长,重力加速度为g.(1)若棒由静止开始竖直向上运动,其速度v与位移x的关系为v=kx(k为已知常量),当棒速度为va时环恰好对桌面压力为零,求va大小和此过程中环上产生的焦耳热Q;
(2)若棒以速度vb(vb>va)竖直向上匀速运动,环离开桌面后经时间t达到最大速度,求此时间内环上升的高度h大小;
(3)如果保持材料和半径都不变,仅将绕制铜环的铜线加粗一些,试分析说明第(2)问中铜环增加的动能如何变化.
分析 (1)根据法拉第电磁感应定律结合磁棒与环之间的相对运动的速度,可求得产生的感应电动势,由欧姆定律可求得感应电流,对环受力分析,根据力的平衡列式即可求得环恰好对桌面压力为零时的速度,结合能量的转化和守恒定律可解的此过程中环上产生的焦耳热Q.
(2)设出环的最大速度,根据法拉第电磁感应定律结合磁棒与环之间的相对运动的速度,可求得此时产生的感应电动势,在由欧姆定律解得感应电流,当环达到最大速度时,环受力平衡,可由力的平衡列式,结合运动的规律即可求得此时间内环上升的高度h大小.
(3)根据质量的公式m=ρV以及电阻定律,再结合第(2)问中的受力平衡的式子联立即可判知速度的变化情况,结合质量的变化,继而可得知铜环增加的动能如何变化.
解答 解:(1)根据法拉第电磁感应定律,棒速度为va时产生的感应电动势为:E=B•2πr•va…①
感应电流为:I=$\frac{E}{R}$…②
当棒速度为va时环恰好对桌面压力为零,有:BI•2πr=mg…③
①②③联立得:va=$\frac{mgR}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}$…④
速度v与位移x的关系得:va=kx…⑤
过程中环上产生的焦耳热为:Q=$\frac{0+mg}{2}x$…⑥
联立④⑤⑥解得:Q=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{8k{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}$…⑦
(2)设环的最大速度为v,则有:
E1=B•2πr•(vb-v)…⑧
产生的感应电流为:I1=$\frac{{E}_{1}}{R}$…⑨
同理可得:$\frac{{B}^{2}(2πr)^{2}({v}_{b}-v)}{R}$=mg…⑩
在时间t内对环用动量定理,得:$\frac{{B}^{2}(2πr)^{2}\overline{△v}}{R}t$-mgt=mv-0…⑪
$\overline{△v}t$=△h…⑫
h=vbt-△h…⑬
由⑧⑨⑩⑪⑫⑬联立得:
h=vbt-${\frac{(mgt+m{v}_{b}-\frac{{m}^{2}gR}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}})R}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}}^{\;}$…⑭
(3)设铜的密度为ρ,电阻率为ρ电,铜线的横截面积为S,有:
m=ρ•2πr•S…⑮
R=ρ电•$\frac{2πr}{S}$…⑯
由⑩⑮⑯联立解得:B2(vb-v)=ρ•ρ电
所以铜环最大速度v不变,由于m增大,所以这段时间内铜环增加的动能增大.
答:(1)若棒由静止开始竖直向上运动,其速度v与位移x的关系为v=kx(k为已知常量),当棒速度为va时环恰好对桌面压力为零,va大小和此过程中环上产生的焦耳热Q为$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{8k{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}$.
(2)若棒以速度vb(vb>va)竖直向上匀速运动,环离开桌面后经时间t达到最大速度,求此时间内环上升的高度h大小为vbt-${\frac{(mgt+m{v}_{b}-\frac{{m}^{2}gR}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}})R}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}}^{\;}$.
(3)如果保持材料和半径都不变,仅将绕制铜环的铜线加粗一些,第(2)问中铜环增加的动能增大.
点评 该题是难度非常大一道题,解答该题,首先要熟练的掌握电磁感应定律及欧姆定律的应用,同时注意对环的受力情况变化的分析,注意临界状态的判断和分析,同时要求学生要有较强的对物理表达式的处理能力,这就要求学生要多进行这方面的训练.
A. | $\frac{1}{50π}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{50π}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{25π}$ | D. | $\frac{1}{25π}$ |
A. | 电阻R的最大电流为$\frac{BL\sqrt{2gh}}{R}$ | |
B. | 流过电阻R的电荷量为$\frac{BLd}{R+r}$ | |
C. | 导体棒两端的最大电压为BL$\sqrt{2gh}$ | |
D. | 电阻R中产生的焦耳热为$\frac{R}{R+r}$(mgh-μmgd) |
A. | 通过R的交流电的频率为100 Hz | |
B. | 电流表A2的示数为$\sqrt{2}$A | |
C. | 此时变压器的输入功率为22 W | |
D. | 将P沿逆时针方向移动一些,电流表A1的示数变小 |
A. | C点的加速度比B点的加速度大 | |
B. | C点的加速度比A点的加速度大 | |
C. | A点速率大于B点的速率 | |
D. | 从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小,速率是先减小后增大 |
A. | 如果这两列波相遇,可能发生干涉现象 | |
B. | 甲波中的P处质点比M处质点先回到平衡位置 | |
C. | 从图示的时刻开始经过1.0s,P质点沿x轴正方向发生的位移为2m | |
D. | 从图示的时刻开始,P处质点比Q处质点将同时回到各自的平衡位置 |
A. | “墨子号”在最终轨道上绕地球运行的周期为$\frac{2π(R+h)}{R}$$\sqrt{\frac{R+h}{g}}$ | |
B. | 火箭竖直向上匀加速飞行的过程中克服重力做功的平均功率为$\frac{1}{2}$mgv | |
C. | 地球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$ | |
D. | 火箭竖直向上匀加速过程中的推力为$\frac{mv}{t}$ |