题目内容
3．如图所示，质量为m的足够长的“[”金属导轨abcd放在倾角为θ的光滑绝缘斜面上，bc段电阻为R，其余段电阻不计．另一电阻为R、质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PbcQ构成矩形．棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于斜面的光滑立柱．导轨bc段长为L，以ef为界，其左侧匀强磁场垂直斜面向上，右侧匀强磁场方向沿斜面向上，磁感应强度大小均为B．在t=0时，一沿斜面方向的作用力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动，加速度为a．
（1）请通过计算证明开始一段时间内PQ中的电流随时间均匀增大．
（2）求在电流随时间均匀增大的时间内棒PQ横截面内通过的电量q和导轨机械能的变化量△E．
（3）请在F-t图上定性地画出电流随时间均匀增大的过程中作用力F随时间t变化的可能关系图，并写出相应的条件．（以沿斜面向下为正方向）
分析 （1）根据E=BLv、v=at和欧姆定律，得到感应电流的表达式，即可分析．
（2）根据电量公式q=It，由于电流均匀增大，I要用电流的平均值求．根据能量守恒定律求导轨机械能的变化量△E．
（3）分三种情况：a≥gsinθ-μgcosθ、a≤gsinθ-μgcosθ、gsinθ-gcosθ＜a＜gsinθ-μgcosθ进行讨论分析．
解答 
解：（1）PQ中的电流为：I=$\frac{BLv}{2R}$=$\frac{BLat}{2R}$
因为$\frac{BLa}{2R}$是常数，所以I∝t，即电流随时间均匀增大．
当PQ受到的安培力大于mgcosθ时，PQ会离开斜面，电路不再闭合，回路中会短时无电流．
FA=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{m}}{2R}$=mgcosθ
即：tm=$\frac{2mgRcosθ}{{B}^{2}{L}^{2}a}$
（2）棒PQ横截面内通过的电量为：q=Itm=$\frac{1}{2}$•$\frac{BLa{t}_{m}}{2R}$tm=$\frac{BLa{t}_{m}^{2}}{4R}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rco{s}^{2}θ}{{B}^{3}{L}^{3}a}$
导轨机械能的变化量为：E=$\frac{1}{2}$mv2-mgh=$\frac{1}{2}$matm2（a-gsinθ）=$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}co{s}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}a}$（a-gsinθ）
（3）①若a≥gsinθ-μgcosθ，则F始终向下，且随时间均匀增大；
②若 a≤gsinθ-μgcosθ，则F始终向上，且随时间均匀减小（tm时F仍向上或为零）；
③若gsinθ-μgcosθ＜a＜gsinθ+μgcosθ，则F先向上逐渐减小，后向下逐渐增大．F随时间t变化的可能关系图如图所示．
答：
（1）证明见上．
（2）棒PQ横截面内通过的电量q为$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rco{s}^{2}θ}{{B}^{3}{L}^{3}a}$，导轨机械能的变化量△E为$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}co{s}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}a}$（a-gsinθ）．
（3）①若a≥gsinθ-μgcosθ，则F始终向下，且随时间均匀增大；
②若 a≤gsinθ-μgcosθ，则F始终向上，且随时间均匀减小（tm时F仍向上或为零）；
③若a先小于gsinθ-μgcosθ，后大于gsinθ-μgcosθ，则F先向上逐渐减小，后向下逐渐增大．F随时间t变化的可能关系图如图所示．
点评 解决本题的关键要正确分析导轨的运动情况，来确定其受力情况，运用牛顿第二定律、能量守恒定律等力学规律研究．
| A． | 落地时间缩短为0.5t | B． | 射程减小为0.5 s | ||
| C． | 落地时间仍为t | D． | 射程仍为s |
| A． | 5m/s | B． | 10m/s | C． | 12.5m/s | D． | 15m/s |
如图所示，上下不等宽的平行导轨，EF和GH部分导轨间的距离为L，PQ和MN部分的导轨间距为3L，导轨平面与水平面的夹角为30°，整个装置处在垂直于导轨平面的匀强磁场中．金属杆ab和cd的质量均为m，都可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨接触良好，现对金属杆ab施加一个沿导轨平面向上的作用力F，使其沿斜面匀速向上运动，同时cd处于静止状态，则F的大小为（ ）| A． | $\frac{2}{3}$mg | B． | mg | C． | $\frac{4}{3}$mg | D． | $\frac{3}{2}$mg |
两根光滑绝缘棒在同一竖直平面内，两棒与水平面间均成45°角，棒上各穿有一个质量为m、带电荷量为Q的相同小球，如图所示，现两小球均处于静止状态，求两球之间的距离L．
如图所示，abcd为一边长为L、匝数为N的正方形闭合线圈，绕对称轴OO′匀速转动，角速度为ω，空间中只有OO′左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，若闭合线圈的总电阻为R，则（ ）| A． | 线圈中电动势的有效值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$NBL2ω | |
| B． | 线圈中电动势的最大值为$\frac{1}{2}$NBL2ω | |
| C． | 在转动一圈的过程中，线圈中有一半时间没有电流 | |
| D． | 当线圈转到图中所处的位置时，穿过线圈的磁通量为$\frac{1}{2}$NBL2 |
如图所示，质量为2kg的物体水平放置在运货滚梯上，沿AB方向以加速度a=4m/s2从A点移到B点，AB间的距离为2m，AB连线与竖直方向的夹角为60°，g取10m/s2，求：
如图，穿在一根光滑的固定杆上的两个小球A、B连接在一条跨过定滑轮的细绳两端，杆与水平面成θ=37°角，不计所有摩擦．当两球静止时，OA绳与杆的夹角为θ，OB绳沿竖直方向，则球A、B的质量之比为（ ）