Question

15．如图所示，整个直角坐标系xOy内分布着方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，在y≥0的区域内还有方向平行于坐标平面的匀强电场（图中未画出），x轴上有厚度不计的离子收集板MN，MN在坐标原点O处有小孔．现让一质量为m、电荷量为q的正离子从位置P（-l，l）以正对O点的速度v射出，离子恰好能沿直线PO射入并穿出小孔，不计离子所受重力，求：
（1）电场强度的大小和方向；
（2）粒子全程运动的时间和打在收集板MN上的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）分析可知，粒子受电场力和洛伦兹力作用沿PO直线运动，因为洛伦兹力随速度大小变化而变化，所以粒子只能做匀速直线运动，根据受力平衡即可求出电场强度的大小和方向；
（2）先求出粒子做匀速直线运动的时间，再利用周期公式结合粒子转过的圆心角求解粒子在磁场中做圆周运动的时间，将两个时间加和即可求出全程总时间，利用洛伦兹力提供向心力结合几何关系，即可求出粒子打在收集板MN上的位置坐标．

解答 解：（1）由P的位置特点知，∠POy=45°
由力的平衡条件有：Eq=qvB
解得：E=vB
由左手定则知，洛伦兹力的方向垂直于PO斜向左下，故电场力的方向垂直于PO斜向右上．
因粒子带正电，所以电场强度的方向垂直于PO斜向右上，与x轴成45°夹角
（2）根据几何关系可得：PO=$\sqrt{2}$l
离子在y≥0的区域内运动的时间为t₁=$\frac{PO}{v}$=$\frac{\sqrt{2}l}{v}$
穿出小孔后离子在y≤0区域内做匀速圆周运动，轨迹如图所示，

其中O′为轨迹圆圆心，D为离子打在收集板上的位置
由洛伦兹力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
R=$\frac{mv}{qB}$
运动周期T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
轨迹对应圆心角θ=270°，故离子在y≤0区域内运动的时间为t₂=$\frac{270°}{360°}$T=$\frac{3πm}{2qB}$
粒子全程运动的时间为t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{2}l}{v}+\frac{3πm}{qB}$
由几何关系知，DO=2Rcos45°=$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$
所以，离子打在收集板MN上的位置坐标D（-$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$，0）
答：（1）电场强度的大小为vB，方向垂直于PO斜向右上，与x轴成45°夹角；
（2）粒子全程运动的时间为$\frac{\sqrt{2}l}{v}+\frac{3πm}{qB}$，打在收集板MN上的位置坐标为（-$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$，0）．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，在电场与磁场的复合场中，为速度选择器模型，粒子做匀速直线运动，运用力平衡解决；在磁场中做匀速圆周运动，运用半径公式与几何关系结合求解D点坐标，运用周期公式与转过的圆心角结合，去求解时间．解题的关键是要正确作出粒子轨迹过程图．