Question

6．有一礼花炮竖直向上发射炮弹，炮弹的质量M=6.0kg（内含炸药的质量可以不计），射出的初速度v₀=60m/s，若炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片的质量m=4.0kg．现要求这一片不能落到以发射点为圆心，以R=600m为半径的圆周范围内．试求：（g取10m/s²，不计空气阻力，取地面为零势能面）
（1）炮弹能上升的高度H为多少？
（2）爆炸后，质量为m的弹片的最小速度是多大？
（3）爆炸后，两弹片的最小机械能是多少？

Answer 1

分析 （1）不计空气阻力，炮弹上升的过程中机械能守恒，据此列式求解H．
（2）爆炸后，质量为m的弹片做平抛运动，结合题意的要求，根据平抛运动的规律求解弹片的最小速度．
（3）爆炸过程遵守动量守恒，由动量守恒定律求出另一弹片爆炸后瞬间的速度，再求解机械能．

解答 解：（1）取地面为参考平面，由机械能守恒定律得
  MgH=$\frac{1}{2}$Mv₀²，得 H=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{6{0}^{2}}{20}$m=180 m．
（2）爆炸后，质量为m的弹片做平抛运动，由平抛运动知识得
  H=$\frac{1}{2}$gt²，R=vt，
可得最小速度  v=R$\sqrt{\frac{g}{2H}}$=600×$\sqrt{\frac{10}{2×180}}$m/s=100 m/s．
（3）由题意知另一弹片质量为
  m′=M-m=2.0 kg，
设爆炸后瞬间此弹片速度为v′，取爆炸后，质量为m的弹片速度方向为正方向，由动量守恒定律得
  mv-m′v′=0，v′=$\frac{mv}{v′}$=200 m/s
两弹片的机械能为
E=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$m′v′²+（m+m′）gH=7.08×10⁴ J．
答：
（1）炮弹能上升的高度H为180m．
（2）爆炸后，质量为m的弹片的最小速度是100 m/s．
（3）爆炸后，两弹片的最小机械能是7.08×10⁴ J．

点评 解决本题的关键要明确此题涉及三个过程，能准确把握每个过程的规律，特别爆炸过程，由于外力远小于内力，动量守恒．求机械能时，不能将重力势能遗漏．