Question

13．我们一般认为，飞船在远离星球的宇宙深处航行时，其它星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计．此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动．
设想有一质量为M的宇宙飞船，正以速度v₀在宇宙中飞行．飞船可视为横截面积为S的圆柱体（如图1所示）．某时刻飞船监测到前面有一片尘埃云．

（1）已知在开始进入尘埃云的一段很短的时间△t内，飞船的速度减小了△v，求这段时间内飞船受到的阻力大小．
（2）已知尘埃云分布均匀，密度为ρ．
a．假设尘埃碰到飞船时，立即吸附在飞船表面．若不采取任何措施，飞船将不断减速．通过监测得到飞船速度的倒数“$\frac{1}{v}$”与飞行距离“x”的关系如图2所示．求飞船的速度由v₀减小1%的过程中发生的位移及所用的时间．
b．假设尘埃与飞船发生的是弹性碰撞，且不考虑尘埃间的相互作用．为了保证飞船能以速度v₀匀速穿过尘埃云，在刚进入尘埃云时，飞船立即开启内置的离子加速器．已知该离子加速器是利用电场加速带电粒子，形成向外发射的高速（远远大于飞船速度）粒子流，从而对飞行器产生推力的．若发射的是一价阳离子，每个阳离子的质量为m，加速电压为U，元电荷为e．在加速过程中飞行器质量的变化可忽略．求单位时间内射出的阳离子数．

Answer 1

分析 （1）由加速度公式可求得加速度，再由牛顿第二定律可求得飞船受到的阻力；
（2）a、对于非弹性碰撞，两物体碰后粘在一起，由动量守恒定律及图旬可求得位移和时间；
b、对于弹性碰撞，两物体碰后动量守恒机械能守恒，根据动量守恒定律及机械能守恒定律可求得粒子的速度，再对粒子由动量定理可求得粒子数．

解答 解：（1）飞船的加速度a=$\frac{△v}{△t}$；
根据牛顿第二定律有：
f=Ma；
则飞船受到的阻力f=M$\frac{△v}{△t}$；
（2）a．对飞船和尘埃，设飞船的方向为正方向，根据动量守恒定律有：
Mv₀=（M+ρsx）$\frac{99}{100}$v₀
解得：x=$\frac{M}{99ρs}$
由$\frac{1}{v}$-x图象可得：
t=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{v}_{0}}$+$\frac{100}{99{v}_{0}}$）x
解得
t=$\frac{199M}{19602{v}_{0}ρs}$
b．设在很短时间△t内，与飞船碰撞的尘埃的质量为m′，所受飞船的作用力为f′
飞船与尘埃发生弹性碰撞
由动量守恒定律可知：
Mv₀=Mv₁+m′v₂
由机械能守恒定律可知；
$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$m′v₂²
解得：v₂=$\frac{2M}{M+m′}$v0
由于M＞＞m′，所以碰撞后尘埃的速度v₂=2v₀
对尘埃，根据动量定理可得：
f′△t=m′v₂
其中m′=ρsv₀△t
则飞船所受到的阻力f′=2ρsv²₀
设一个离子在电场中加速后获得的速度为v．
根据动能定理可得；
eU=$\frac{1}{2}$mv²
设单位时间内射出的离子数为n
在很短的时间△t内，根据动量定理可得：
F△t=n△tmv
则飞船所受动力F=nmv
飞船做匀速运动
F=f′
解得：n=$\sqrt{\frac{2}{eUm}}ρs{v}_{0}^{2}$
答：
（1）这段时间内飞船受到的阻力大小为M$\frac{△v}{△t}$；
（2）a．飞船的速度由v₀减小1%的过程中发生的位移为$\frac{M}{99ρs}$；所用的时间$\frac{199M}{19602{v}_{0}ρs}$．
b．单位时间内射出的阳离子数$\sqrt{\frac{2}{eUm}}ρs{v}_{0}^{2}$．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、动量定理及动能定理等内容，要注意分析物体过程，明确弹性碰撞和非弹性碰撞的区别；同时注意粒子在电场中的加速应用动能定理求解；本题过程较复杂，要求能认真审题，细心解答．