题目内容

4．如图所示，光滑水平面上有一平板车，车上固定一竖直直杆，杆的最高点O通过一长为L的轻绳拴接一个可视为质点的小球，小球的质量为小车（包括杆的质量）质量的一半，悬点O距离地面的高度为2L，轻绳水平时，小球与小车速度均为零．释放小球，当小球运动到最低点时，轻绳断开．重力加速度为g．求：
（ⅰ）小球运动到最低点时速度大小；
（ⅱ）小球从释放到落地的过程中，小车向右移动的距离．

分析 （i）小球在下落过程中，小球与车组成的系统水平方向动量守恒；而系统机械能守恒；则由动量守恒定律和机械能守恒定律列式可求得小球的速度；
（ii）对小球和小车系统根据平均动量守恒定律可确定位移关系，由竖直方向的自由落体规律可确定小时间，则可求得小车向右移动的距离．

解答 解：
（ i）小球下落过程中，小球与车组成的系统，水平方向动量守恒，系统机械能守恒，设小球到最低点时，小球的速率为v1，小车的速率为v2，
设小球的速度方向为正方向，则由机械能守恒定律和动量守恒可得：
m v1=2m v2
mgL=$\frac{1}{2}$mv12+$\frac{1}{2}$×2mv22
解得：
v1=$\frac{2\sqrt{3gL}}{3}$，v2=$\frac{\sqrt{3gL}}{3}$
故可得小球在最低点的速度v1=$\frac{2\sqrt{3gL}}{3}$；
（ ii）小球下落的过程中，车向右移动的距离为x2，小球向左移动的距离为x1，则有：
m x1=2mx2
且x1+x2=L                                         
联立解得：x2=$\frac{L}{3}$；
设小球从最低点到落到地面经历的时间为t，
则有L=$\frac{1}{2}$gt2                                       
从绳断到小球落地，车向右运动的距离为x2′=v2t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$L      
所以，小车向右总位移为x=x2+x2′=$\frac{{（1+\sqrt{6}）}}{3}L$
答：（ⅰ）小球运动到最低点时速度大小为=$\frac{2\sqrt{3gL}}{3}$；
（ⅱ）小球从释放到落地的过程中，小车向右移动的距离$\frac{{（1+\sqrt{6}）}}{3}L$

点评 本题考查水平方向动量守恒定律的应用及机械能守恒定律的应用，在解题时要注意明确动量守恒的条件，同时注意分析过程，明确物理规律的应用．

练习册系列答案
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