Question

5．如图1所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L．一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计．

（1）如图2所示，若轨道左端MP间接一阻值为R的电阻，导体棒在水平向右的恒力F的作用下由静止开始运动．求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小．
（2）如图3所示，若轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值为R的电阻．闭合开关S，导体棒从静止开始运动．求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小．
（3）如图4所示，若轨道左端MP间接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平向右的恒力F的作用下从静止开始运动．求导体棒运动过程中的加速度的大小．

Answer 1

分析 （1）导体棒最后是做匀速直线运动，安培力与拉力平衡，根据切割公式、欧姆定律和安培力公式列式后联立求解；
（2）导体棒稳定后应该是做匀速直线运动，其切割电动势应该等于电阻R的两端电压，根据闭合电路欧姆定律列式求解其电压，再结合切割公式求解其最大速度大小；
（3）接电容器后，导体棒稳定后做匀加速直线运动，根据C=$\frac{Q}{U}$、Q=It、F_A=BIL、牛顿第二定律列式得到加速度的大小．

解答 解：（1）导体棒ab向右做加速度减小的加速运动，当安培力与外力F平衡时，导体棒ab达到最大速度v₁，
安培力：BIL=F，
电流：$I=\frac{E}{R}$，
感应电动势：E=BLv₁，
解得：${v_1}=\frac{FR}{{{B^2}{L^2}}}$；
（2）闭合开关后，导体棒ab产生的电动势与电阻R两端的电压相等时，导体棒ab达到最大速度v₂，
根据欧姆定律，有：$I=\frac{E}{R+r}$，U=IR，
根据切割公式，有：U=BLv₂，
解得：${v_2}=\frac{ER}{BL（R+r）}$；
（3）导体棒ab向右加速运动，在极短时间△t内，导体棒的速度变化△v，根据加速度的定义$a=\frac{△v}{△t}$，导体棒产生的电动势变化△E=BL△v，电容器增加的电荷△q=C△E=CBL△v，
根据电流的定义$I=\frac{△q}{△t}$，解得I=CBLa，
导体棒ab受到的安培力F_安=BIL=B²L²Ca，
根据牛顿第二定律F-F_安=ma，
解得：$a=\frac{F}{{m+C{B^2}{L^2}}}$；
答：（1）经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小为$\frac{FR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小为$\frac{ER}{BL（R+r）}$．
（3）导体棒运动过程中的加速度的大小为$\frac{F}{m+C{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题考查滑轨问题，关键是找出稳定时的运动情况，熟练运动切割公式、安培力公式、欧姆定律列式分析，注意如果是含电容器电路，最后是匀加速直线运动．